Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
(c) h(x)=\frac{\sqrt{|x|-x}}{e^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
h(x)=\frac{\sqrt{|x|-x}}{e^{x}-1}.
Para isso precisamos garantir duas coisas:
  1. O radicando |x|-x deve ser não negativo (para a raiz quadrada existir).
  2. O denominador e^{x}-1 deve ser diferente de zero (para não ocorrer divisão por zero).

Passo 2

Analisando a condição do radicando:
Para x\ge0 temos |x|-x = x - x = 0, logo |x|-x\ge0.
Para x<0 temos |x|-x = -x - x = -2x, e como x<0 então -2x>0.
Portanto |x|-x\ge0 vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Analisando o denominador:
e^{x}-1 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^{x}\neq1 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq0.

Passo 4

A condição do radicando não impõe restrição adicional (vale para todo real), mas devemos excluir x=0 para evitar divisão por zero.

Resposta

O domínio de h é
(-\infty,0)\,\cup\,(0,\infty).

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