Determine e esboce o domínio da função em cada caso.
f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar e esboçar o domínio” da função
f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas:
\text{a função }f\text{ está definida por }f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.çãá
Pergunta explícita: quais pares (x,y) em \mathbb{R}^{2} fazem essa expressão ser bem definida (isto é, qual é o domínio)? Depois, esboçar geometricamente esse conjunto no plano.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui (explicação didática):
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2} para os quais a expressão que define a função faz sentido numericamente. Regras práticas que usamos:
  • Em uma fração, o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida.
  • Não há outras restrições nesta expressão (não há raízes de índice par, logaritmos, etc.), então a única preocupação é o denominador.

Passo 3

Aplicando a regra ao problema:
Devemos exigir que o denominador não seja zero:
x^{2}-y^{2}\neq 0.
Para resolver essa condição, fatoramos a diferença de quadrados. Lembre que a fórmula fatoração é (a^{2}-b^{2})=(a-b)(a+b). Usando isso:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Portanto a condição vira
(x-y)(x+y)\neq 0.

Passo 4

Interpretação da desigualdade fatorada (explicação passo a passo):
Um produto é diferente de zero exatamente quando nenhum dos fatores é zero. Então devemos ter simultaneamente
x-y\neq 0 \quad\text{e}\quad x+y\neq 0.
Essas duas equações correspondem às retas do plano:
x-y=0\quad\Longleftrightarrow\quad y=x
e
x+y=0\quad\Longleftrightarrow\quad y=-x.
Portanto devemos excluir do plano todos os pontos que estejam sobre a reta y=x ou sobre a reta y=-x.

Passo 5

Expressão final do domínio (forma canônica):
Em notação de conjuntos, o domínio é
D=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=x\\ \text{ou}\\ y=-x\},
ou equivalentemente
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq y\\ \text{e}\\ x\neq -y\}.

Passo 6

Como esboçar o domínio (instruções práticas para desenhar no papel):
  1. Desenhe os eixos coordenados x e y.
  2. Desenhe a reta \,y=x; (diagonal com 45º) e a reta \,y=-x; (diagonal com -45º).
  3. Marque essas duas retas como “excluídas” — por exemplo, trace-as como linhas tracejadas ou desenhe pequenas lacunas/nós sobre elas para indicar que os pontos sobre essas linhas não pertencem ao domínio.
  4. Todos os outros pontos do plano pertencem ao domínio. As duas retas dividem o plano em quatro regiões abertas (setores); cada ponto em qualquer um desses setores é válido para f.
    Exemplos concretos de verificação rápida: (1,0) pertence ao domínio porque 1^{2}-0^{2}=1\neq 0. Já (1,1) não pertence porque 1^{2}-1^{2}=0.

Passo 7

Observação final e dica para a prova:
  • Sempre que encontrar uma expressão racional, examine primeiro o denominador e fatorize se possível (aqui a diferença de quadrados foi a pista). Isso dá rápido o conjunto a excluir.
  • No desenho, enfatize as linhas excluídas; muitas questões cobram identificar se as linhas/pontos são removidos ou se há buracos isolados.
    Você está indo bem — só lembrar: não pode usar pontos sobre \,y=x nem sobre \,y=-x.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq y\\ \text{e}\\ x\neq -y\}

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