Determine e esboce o domínio da função em cada caso.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar e esboçar o domínio” da função
Informações dadas:
Pergunta explícita: quais pares
em
fazem essa expressão ser bem definida (isto é, qual é o domínio)? Depois, esboçar geometricamente esse conjunto no plano.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui (explicação didática):
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares para os quais a expressão que define a função faz sentido numericamente. Regras práticas que usamos:
O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
- Em uma fração, o denominador não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida.
- Não há outras restrições nesta expressão (não há raízes de índice par, logaritmos, etc.), então a única preocupação é o denominador.
Passo 3
Aplicando a regra ao problema:
Devemos exigir que o denominador não seja zero:
Devemos exigir que o denominador não seja zero:
Para resolver essa condição, fatoramos a diferença de quadrados. Lembre que a fórmula fatoração é
. Usando isso:
Portanto a condição vira
Passo 4
Interpretação da desigualdade fatorada (explicação passo a passo):
Um produto é diferente de zero exatamente quando nenhum dos fatores é zero. Então devemos ter simultaneamente
Um produto é diferente de zero exatamente quando nenhum dos fatores é zero. Então devemos ter simultaneamente
Essas duas equações correspondem às retas do plano:
e
Portanto devemos excluir do plano todos os pontos que estejam sobre a reta
ou sobre a reta
.
Passo 5
Expressão final do domínio (forma canônica):
Em notação de conjuntos, o domínio é
Em notação de conjuntos, o domínio é
ou equivalentemente
Passo 6
Como esboçar o domínio (instruções práticas para desenhar no papel):
- Desenhe os eixos coordenados
e . - Desenhe a reta
; (diagonal com 45º) e a reta ; (diagonal com -45º). - Marque essas duas retas como “excluídas” — por exemplo, trace-as como linhas tracejadas ou desenhe pequenas lacunas/nós sobre elas para indicar que os pontos sobre essas linhas não pertencem ao domínio.
- Todos os outros pontos do plano pertencem ao domínio. As duas retas dividem o plano em quatro regiões abertas (setores); cada ponto em qualquer um desses setores é válido para
.
Exemplos concretos de verificação rápida:pertence ao domínio porque . Já não pertence porque .
Passo 7
Observação final e dica para a prova:
- Sempre que encontrar uma expressão racional, examine primeiro o denominador e fatorize se possível (aqui a diferença de quadrados foi a pista). Isso dá rápido o conjunto a excluir.
- No desenho, enfatize as linhas excluídas; muitas questões cobram identificar se as linhas/pontos são removidos ou se há buracos isolados.
Você está indo bem — só lembrar: não pode usar pontos sobrenem sobre .