Determine e esboce o domínio da função em cada caso.
f(x, y, z)=\frac{2 \sqrt{z-x^{2}-y^{2}}}{e^{z x+y}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e esboçá-lo. A função dada é
f(x,y,z)=\frac{2\sqrt{z-x^{2}-y^{2}}}{e^{zx+y}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{z-x^{2}-y^{2}}, então o radicando z-x^{2}-y^{2} precisa ser adequado para a raiz quadrada real.
  • Há um denominador e^{zx+y}, que envolve uma exponencial.
  • As variáveis são (x,y,z) reais, isto é, buscamos o domínio como um subconjunto de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Entendendo a restrição da raiz quadrada (a parte que mais limita o domínio). A função raiz quadrada real \sqrt{\cdot} está definida apenas para argumentos maiores ou iguais a zero. Portanto precisamos ter
z-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Isto significa algebraicamente
z \ge x^{2}+y^{2}.
Explicação didática: se o radicando fosse negativo, a raiz quadrada não seria um número real e, como estamos trabalhando com função real de três variáveis, esse ponto não pertence ao domínio.

Passo 3

Analisando o denominador. A função exponencial e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R} e é sempre positiva:
e^{t}>0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
No nosso caso t=zx+y é um número real qualquer, então e^{zx+y} nunca é zero nem indefinido. Conclusão: o denominador não impõe restrição adicional ao domínio. A única restrição vem da raiz quadrada.

Passo 4

Escrevendo o domínio de forma rigorosa. Combinando os itens anteriores, o domínio D é o conjunto de todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfazem
z\ge x^{2}+y^{2}.
Em notação de conjuntos:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z\ge x^{2}+y^{2}\}.

Passo 5

Interpretação geométrica e intuição (como esboçar). A superfície de equação
z=x^{2}+y^{2}
é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com vértice em (0,0,0). A desigualdade z\ge x^{2}+y^{2} corresponde à região no espaço localizada sobre (ou sobre e incluindo) esse paraboloide — isto é, o interior exterior relativo ao eixo z acima da “tigela” do paraboloide. Para esboçar:
  • Desenhe o paraboloide z=x^{2}+y^{2} (no esboço, pode representar por curvas de nível).
  • Sombreie a região acima dele (a região que fica “para cima” do paraboloide), incluindo a própria superfície (a fronteira).

Passo 6

Descrição via coordenadas cilíndricas (ajuda a visualizar cortes): coloque r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (com r\ge 0). A condição do domínio fica
z\ge r^{2}.
Para cada altura fixa z=c (uma plano horizontal), a interseção com o domínio é um disco no plano xy de raio \sqrt{c} (quando c\ge 0); se c<0 então não há pontos porque r^{2}\ge 0. Em cortes por planos que contenham o eixo z (por exemplo plano y=0), obtemos a parábola z=x^{2} e o trecho acima dela.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • O ponto (0,0,0) está no domínio porque 0\ge 0+0.
  • O ponto (1,0,0) não está no domínio porque 0\not\ge 1^{2}+0^{2}.
  • O ponto (1,1,2) está no domínio porque 2\ge 1^{2}+1^{2}=2 (aqui o radicando é zero e f(1,1,2)=0).

Resposta

D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z\ge x^{2}+y^{2}\}
Esboço: região sólida em \mathbb{R}^{3} sobre (e incluindo) o paraboloide z=x^{2}+y^{2}, ou seja, a região “acima” da tigela formada por z=x^{2}+y^{2}.

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