Determine e esboce o domínio da função em cada caso.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e esboçá-lo. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada
, então o radicando precisa ser adequado para a raiz quadrada real. - Há um denominador
, que envolve uma exponencial. - As variáveis são
reais, isto é, buscamos o domínio como um subconjunto de .
Passo 2
Entendendo a restrição da raiz quadrada (a parte que mais limita o domínio). A função raiz quadrada real
está definida apenas para argumentos maiores ou iguais a zero. Portanto precisamos ter
Isto significa algebraicamente
Explicação didática: se o radicando fosse negativo, a raiz quadrada não seria um número real e, como estamos trabalhando com função real de três variáveis, esse ponto não pertence ao domínio.
Passo 3
Analisando o denominador. A função exponencial
está definida para todo
e é sempre positiva:
No nosso caso
é um número real qualquer, então
nunca é zero nem indefinido. Conclusão: o denominador não impõe restrição adicional ao domínio. A única restrição vem da raiz quadrada.
Passo 4
Escrevendo o domínio de forma rigorosa. Combinando os itens anteriores, o domínio
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
Em notação de conjuntos:
Passo 5
Interpretação geométrica e intuição (como esboçar). A superfície de equação
é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com vértice em
. A desigualdade
corresponde à região no espaço localizada sobre (ou sobre e incluindo) esse paraboloide — isto é, o interior exterior relativo ao eixo
acima da “tigela” do paraboloide. Para esboçar:
- Desenhe o paraboloide
(no esboço, pode representar por curvas de nível). - Sombreie a região acima dele (a região que fica “para cima” do paraboloide), incluindo a própria superfície (a fronteira).
Passo 6
Descrição via coordenadas cilíndricas (ajuda a visualizar cortes): coloque
(com
). A condição do domínio fica
Para cada altura fixa
(uma plano horizontal), a interseção com o domínio é um disco no plano
de raio
(quando
); se
então não há pontos porque
. Em cortes por planos que contenham o eixo
(por exemplo plano
), obtemos a parábola
e o trecho acima dela.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- O ponto
está no domínio porque . - O ponto
não está no domínio porque . - O ponto
está no domínio porque (aqui o radicando é zero e ).
Resposta
Esboço: região sólida em
sobre (e incluindo) o paraboloide
, ou seja, a região “acima” da tigela formada por
.