Determine e esboce o domínio da função, determine a imagem da função e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede três coisas claras:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
). - Esboçar o gráfico da função (uma descrição/ajuda para desenhar).
Passo 2
O que é domínio e como identificar aqui.
O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de pontos para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Regras práticas que uso na prova:
O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de pontos
- Se a expressão tem raízes de índice par (por exemplo
), devemos exigir o argumento não-negativo. - Se houver divisão, evitar denominador zero.
- Se houver logaritmo, exigir argumento positivo.
- Se for um polinômio (soma de potências de
e ), está definido para todos os reais.
No caso
não há raiz, divisão nem log; é uma soma de quadrados (polinômio). Logo a expressão faz sentido para qualquer par
. Portanto o domínio é todo o plano.
Passo 3
Determinar a imagem (range) — ideia geral.
A imagem de é o conjunto
. Vou mostrar dois fatos simples e fundamentais:
A imagem de
-
não pode ser negativo. - Todos os números não-negativos são atingidos por
.
Prova do item 1 (não negatividade): para quaisquer
tem-se
e
. Somando,
Assim nenhum valor negativo pertence à imagem.
Prova do item 2 (todos
são atingidos): seja
. Se
, então
. Se
, escolha por exemplo
(ou
); então
Logo qualquer
é valor de
. Além disso para valores grandes, basta escolher
grande (por exemplo
com
) para obter
.
Portanto a imagem é o intervalo
.
Passo 4
Nívels e pré-imagens — interpretação geométrica importante para desenho.
O conjunto de pontos onde (curva de nível) é, para
,
O conjunto de pontos onde
ou seja, a circunferência de raio
centrada na origem. Para
a pré-imagem é o ponto
. Para
não há pontos.
Essa informação é útil: curvas de nível são círculos concêntricos com raios crescentes conforme
aumenta.
Passo 5
Descrição do gráfico 3D (esboço do sólido): paraboloide circular (tampa de panela).
A superfície no espaço é dada por
. Características principais:
A superfície no espaço
- Vértice na origem:
, que é o ponto de menor altura ( ). - Abre para cima ao longo do eixo
(quanto mais longe da origem em , maior ). - Se fixar
a secção no plano é a parábola ; mesma coisa para . - Interseção com o plano horizontal
é a circunferência de raio (quando ).
Portanto o gráfico é um “bowl” (paraboloide circular) simétrico em torno do eixo
.
Passo 6
Como esboçar rápido na prova (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e e marque a origem. - No plano
desenhe algumas circunferências concêntricas de raios e escreva ao lado os níveis (por exemplo corresponde a ). - Para a vista 3D: desenhe um “bowl” com vértice na origem; desenhe uma seção vertical no plano
mostrando a parábola (isso ajuda a ver a curvatura). - Marque que o ponto mais baixo é
e que não existem pontos com .
Esses passos produzem um esboço correto e claro do paraboloide.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
-
. Então está na superfície. - O conjunto
é a circunferência de raio : .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico: paraboloide circular com vértice em
, aberto para
; curvas de nível no plano
são circunferências centradas na origem de raio
.
Imagem:
Gráfico: paraboloide circular