Determine e esboce o domínio da função, determine a imagem da função e esboce o gráfico da função.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Pede três coisas claras:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por f).
  • Esboçar o gráfico da função (uma descrição/ajuda para desenhar).

Passo 2

O que é domínio e como identificar aqui.
O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de pontos (x,y) para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Regras práticas que uso na prova:
  • Se a expressão tem raízes de índice par (por exemplo \sqrt{\cdot}), devemos exigir o argumento não-negativo.
  • Se houver divisão, evitar denominador zero.
  • Se houver logaritmo, exigir argumento positivo.
  • Se for um polinômio (soma de potências de x e y), está definido para todos os reais.
No caso f(x,y)=x^{2}+y^{2} não há raiz, divisão nem log; é uma soma de quadrados (polinômio). Logo a expressão faz sentido para qualquer par (x,y)\in\mathbb{R}^2. Portanto o domínio é todo o plano.

Passo 3

Determinar a imagem (range) — ideia geral.
A imagem de f é o conjunto \{\,z\in\mathbb{R}\mid \exists(x,y)\in\mathbb{R}^2\text{ com }f(x,y)=z\,\}. Vou mostrar dois fatos simples e fundamentais:
  1. f(x,y) não pode ser negativo.
  2. Todos os números não-negativos são atingidos por f.
Prova do item 1 (não negatividade): para quaisquer x,y\in\mathbb{R} tem-se \;x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0. Somando,
x^{2}+y^{2}\ge 0.
Assim nenhum valor negativo pertence à imagem.
Prova do item 2 (todos \ge 0 são atingidos): seja c\ge 0. Se c=0, então f(0,0)=0. Se c>0, escolha por exemplo (\sqrt{c},0) (ou (0,\sqrt{c})); então
f(\sqrt{c},0)=(\sqrt{c})^{2}+0^{2}=c.
Logo qualquer c\ge 0 é valor de f. Além disso para valores grandes, basta escolher \|(x,y)\| grande (por exemplo x=t, y=0 com t\to\infty) para obter f\to\infty.
Portanto a imagem é o intervalo [0,\infty).

Passo 4

Nívels e pré-imagens — interpretação geométrica importante para desenho.
O conjunto de pontos onde f(x,y)=c (curva de nível) é, para c>0,
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=c\},
ou seja, a circunferência de raio \sqrt{c} centrada na origem. Para c=0 a pré-imagem é o ponto (0,0). Para c<0 não há pontos.
Essa informação é útil: curvas de nível são círculos concêntricos com raios crescentes conforme c aumenta.

Passo 5

Descrição do gráfico 3D (esboço do sólido): paraboloide circular (tampa de panela).
A superfície no espaço (x,y,z) é dada por z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Características principais:
  • Vértice na origem: (0,0,0), que é o ponto de menor altura ( z_{\min}=0).
  • Abre para cima ao longo do eixo z (quanto mais longe da origem em xy, maior z).
  • Se fixar y=0 a secção no plano y=0 é a parábola z=x^{2}; mesma coisa para x=0.
  • Interseção com o plano horizontal z=c é a circunferência de raio \sqrt{c} (quando c>0).
Portanto o gráfico é um “bowl” (paraboloide circular) simétrico em torno do eixo z.

Passo 6

Como esboçar rápido na prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a origem.
  2. No plano xy desenhe algumas circunferências concêntricas de raios 1,2,\dots e escreva ao lado os níveis z=1,4,\dots (por exemplo x^{2}+y^{2}=1 corresponde a z=1).
  3. Para a vista 3D: desenhe um “bowl” com vértice na origem; desenhe uma seção vertical no plano y=0 mostrando a parábola z=x^{2} (isso ajuda a ver a curvatura).
  4. Marque que o ponto mais baixo é (0,0,0) e que não existem pontos com z<0.
Esses passos produzem um esboço correto e claro do paraboloide.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • f(1,2)=1^{2}+2^{2}=1+4=5. Então (1,2,5) está na superfície.
  • O conjunto f(x,y)=9 é a circunferência de raio 3: \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=9\}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}
Imagem: [0,\infty)
Gráfico: paraboloide circular z=x^{2}+y^{2} com vértice em (0,0,0), aberto para z>0; curvas de nível no plano xy são circunferências centradas na origem de raio \sqrt{z}.

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