Determine e esboce o domínio da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) determinar o domínio da função e (ii) esboçar esse domínio no plano
.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
.
Passo 2
Condição do numerador com raiz quadrada: a raiz quadrada de número real está definida somente quando o radicando é não-negativo. Em termos práticos isso significa que precisamos exigir
Explicando devagar: se tivéssemos
então
seria a raiz de um número negativo (número complexo), e aqui estamos procurando o domínio em
. Como a raiz quadrada de
é
, o caso de igualdade é permitido.
Passo 3
Transformar a desigualdade do radicando numa forma mais conveniente para desenhar no plano: a desigualdade
pode ser isolada em
. Subtraindo
dos dois lados obtemos
Isto descreve uma região do plano: todos os pontos que estão na metade do plano “acima” (ou sobre) da reta de equação
. A própria reta
está incluída, porque a desigualdade é do tipo
.
Passo 4
Condição do denominador: uma fração com denominador zero não faz sentido (no conjunto dos números reais). Logo é obrigatório que
ou seja
Explicando: qualquer ponto com abscissa
precisa ser excluído do domínio, mesmo que satisfaça a condição do radicando.
Passo 5
Combinação das duas condições: o domínio é o conjunto dos pontos
que satisfazem simultaneamente as duas restrições anteriores. Em palavras: é a metade do plano determinada por
(metade superior incluindo a reta) com a proibição de qualquer ponto que tenha
. Note um detalhe importante: quando
a condição do radicando se tornaria
, isto é
, então o segmento
seria parte da metade do plano permitida pela raiz — entretanto esse segmento precisa ser removido por causa do denominador
. Pontos com
e
já não pertencem à metade do plano porque violam o radicando, então não é preciso removê-los duas vezes.
Passo 6
Como esboçar o domínio (passo a passo para desenhar à mão na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a reta
. Essa reta tem coeficiente angular e intercepto em . Trace-a como uma linha sólida (não tracejada) porque a fronteira está incluída ( ). - Pinte (ou sombreie) a região acima dessa reta, isto é a região onde
. Inclua a própria reta. - Desenhe a reta vertical
. Marque-a como proibida: corte ou trace em tracejado e remova (não preencha) a parte dessa reta que está dentro da região sombreada, ou simplesmente risque a interseção. Em termos precisos, remova o segmento da reta vertical com . - Verifique com pontos de exemplo:
- O ponto
tem e , logo pertence ao domínio. - O ponto
tem mas torna o denominador zero, logo está excluído. - O ponto
tem , logo não pertence ao domínio por causa do radicando.
- O ponto
Passo 7
Resumo conceitual final: o domínio é a interseção do meio-plano dado por
com o conjunto
. A forma mais limpa e matemática do domínio será colocada abaixo na seção de resposta.