Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x+y+1}}{x-1} e pede duas coisas: (i) determinar o domínio da função e (ii) esboçar esse domínio no plano (x,y).
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • O numerador é \sqrt{x+y+1}.
  • O denominador é x-1.

Passo 2

Condição do numerador com raiz quadrada: a raiz quadrada de número real está definida somente quando o radicando é não-negativo. Em termos práticos isso significa que precisamos exigir
x+y+1 \ge 0.
Explicando devagar: se tivéssemos x+y+1<0 então \sqrt{x+y+1} seria a raiz de um número negativo (número complexo), e aqui estamos procurando o domínio em \mathbb{R}^2. Como a raiz quadrada de 0 é 0, o caso de igualdade é permitido.

Passo 3

Transformar a desigualdade do radicando numa forma mais conveniente para desenhar no plano: a desigualdade
x+y+1 \ge 0
pode ser isolada em y. Subtraindo x+1 dos dois lados obtemos
y \ge -x-1.
Isto descreve uma região do plano: todos os pontos que estão na metade do plano “acima” (ou sobre) da reta de equação y=-x-1. A própria reta y=-x-1 está incluída, porque a desigualdade é do tipo \ge.

Passo 4

Condição do denominador: uma fração com denominador zero não faz sentido (no conjunto dos números reais). Logo é obrigatório que
x-1 \ne 0,
ou seja
x \ne 1.
Explicando: qualquer ponto com abscissa x=1 precisa ser excluído do domínio, mesmo que satisfaça a condição do radicando.

Passo 5

Combinação das duas condições: o domínio é o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas restrições anteriores. Em palavras: é a metade do plano determinada por y\ge -x-1 (metade superior incluindo a reta) com a proibição de qualquer ponto que tenha x=1. Note um detalhe importante: quando x=1 a condição do radicando se tornaria 1+y+1\ge0, isto é y\ge -2, então o segmento
\{(1,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge -2\}
seria parte da metade do plano permitida pela raiz — entretanto esse segmento precisa ser removido por causa do denominador x-1\neq0. Pontos com x=1 e y<-2 já não pertencem à metade do plano porque violam o radicando, então não é preciso removê-los duas vezes.

Passo 6

Como esboçar o domínio (passo a passo para desenhar à mão na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe a reta y=-x-1. Essa reta tem coeficiente angular -1 e intercepto em y=-1. Trace-a como uma linha sólida (não tracejada) porque a fronteira está incluída ( \ge).
  3. Pinte (ou sombreie) a região acima dessa reta, isto é a região onde y\ge -x-1. Inclua a própria reta.
  4. Desenhe a reta vertical x=1. Marque-a como proibida: corte ou trace em tracejado e remova (não preencha) a parte dessa reta que está dentro da região sombreada, ou simplesmente risque a interseção. Em termos precisos, remova o segmento da reta vertical com y\ge -2.
  5. Verifique com pontos de exemplo:
    • O ponto (0,0) tem 0+0+1=1\ge0 e 0\ne1, logo pertence ao domínio.
    • O ponto (1,0) tem 1+0+1=2\ge0 mas x=1 torna o denominador zero, logo está excluído.
    • O ponto (0,-2) tem 0-2+1=-1<0, logo não pertence ao domínio por causa do radicando.

Passo 7

Resumo conceitual final: o domínio é a interseção do meio-plano dado por \,x+y+1\ge0 com o conjunto \{x\ne1\}. A forma mais limpa e matemática do domínio será colocada abaixo na seção de resposta.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y+1\ge 0,\; x\ne 1\}
\text{(equivalentemente) }\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge -x-1\}\setminus\{(1,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge -2\}

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