Considere a função
. Determine:
a) Domínio da função
b) O vetor gradiente de
no ponto
.
c) A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
a) Domínio da função
b) O vetor gradiente de
c) A derivada direcional de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede três coisas:
- (a) determinar o domínio de
; - (b) calcular o vetor gradiente de
no ponto ; - (c) calcular a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor .
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vou usar na resolução):
- Há uma raiz quadrada
, então o argumento precisa ser maior ou igual a zero. - Há um termo
, então não pode ser zero. - O ponto
dado é . - A direção pedida é pelo vetor
.
Passo 2
Determinar o domínio: explicar e aplicar as restrições.
- Para que
esteja definida em números reais é necessário que
- Para que
esteja definida, devemos ter
Juntando as duas condições, o domínio
da função é o conjunto de todos os pares
em que
é qualquer número real não nulo e
é maior ou igual a
. Em notação de conjuntos:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (definição e aplicação das regras).
- Lembrete curto: a derivada parcial de
em relação a , indicada por , trata como constante e deriva só em relação a . Analogamente para . - Derivando termo a termo:
-
. -
porque esse termo depende só de . -
.
Logo,
-
- Agora
: - A regra para derivar
é . - Aqui
e . - Os outros termos não dependem de
(o e têm derivada zero em relação a ).
Assim,
- A regra para derivar
- Portanto o vetor gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Primeiro calcular
em :
- Avaliar
em :
- Avaliar
usando :
- Logo o gradiente no ponto
é
Passo 5
Preparar para calcular a derivada direcional: definição e normalização da direção.
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor é dada por
onde
é o vetor unitário que indica a direção desejada. É importante usar o vetor unitário porque a derivada direcional mede a taxa de variação por unidade de deslocamento.
- O vetor dado é
. Calcular sua norma:
- O vetor unitário associado é
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando produto escalar.
- Usar
e . - Fazer o produto escalar:
- Opcionalmente racionalizando o denominador:
Resposta
(a)
(b)
(c)