Considere a função f(x, y)=x^{2}+\sqrt{3 y-1}+\frac{1}{x}. Determine:
a) Domínio da função
b) O vetor gradiente de f(x, y) no ponto P\left(1, \frac{10}{3}\right).
c) A derivada direcional de f(x, y) no ponto P\left(1, \frac{10}{3}\right) na direção do vetor v=(2,-1).

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=x^{2}+\sqrt{3y-1}+\frac{1}{x}
e pede três coisas:
  • (a) determinar o domínio de f;
  • (b) calcular o vetor gradiente de f no ponto P\!\left(1,\frac{10}{3}\right);
  • (c) calcular a derivada direcional de f no ponto P\!\left(1,\frac{10}{3}\right) na direção do vetor v=(2,-1).
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vou usar na resolução):
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{3y-1}, então o argumento 3y-1 precisa ser maior ou igual a zero.
  • Há um termo \dfrac{1}{x}, então x não pode ser zero.
  • O ponto P dado é \left(1,\dfrac{10}{3}\right).
  • A direção pedida é pelo vetor v=(2,-1).

Passo 2

Determinar o domínio: explicar e aplicar as restrições.
  • Para que \sqrt{3y-1} esteja definida em números reais é necessário que
3y-1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad y \ge \frac{1}{3}.
  • Para que \dfrac{1}{x} esteja definida, devemos ter
x \neq 0.
Juntando as duas condições, o domínio D da função é o conjunto de todos os pares (x,y) em que x é qualquer número real não nulo e y é maior ou igual a \dfrac{1}{3}. Em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq 0,\; y\ge \tfrac{1}{3}\}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (definição e aplicação das regras).
  • Lembrete curto: a derivada parcial de f em relação a x, indicada por \dfrac{\partial f}{\partial x}, trata y como constante e deriva só em relação a x. Analogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Derivando termo a termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)=2x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\sqrt{3y-1}\right)=0 porque esse termo depende só de y.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!(x^{-1})=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
      Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-\frac{1}{x^{2}}.
  • Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}:
    • A regra para derivar \sqrt{u} é \dfrac{d}{dy}\sqrt{u}=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
    • Aqui u=3y-1 e u'=\dfrac{d}{dy}(3y-1)=3.
    • Os outros termos não dependem de y (o x^{2} e 1/x têm derivada zero em relação a y).
      Assim,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{3}{2\sqrt{3y-1}}.
  • Portanto o vetor gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\left(2x-\frac{1}{x^{2}},\; \frac{3}{2\sqrt{3y-1}}\right).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P\!\left(1,\dfrac{10}{3}\right).
  • Primeiro calcular \sqrt{3y-1} em y=\dfrac{10}{3}:
3\cdot\frac{10}{3}-1=10-1=9,\qquad \sqrt{9}=3.
  • Avaliar \dfrac{\partial f}{\partial x} em x=1:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,\tfrac{10}{3})=2\cdot 1-\frac{1}{1^{2}}=2-1=1.
  • Avaliar \dfrac{\partial f}{\partial y} usando \sqrt{3y-1}=3:
\frac{\partial f}{\partial y}(1,\tfrac{10}{3})=\frac{3}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}.
  • Logo o gradiente no ponto P é
\nabla f\!\left(1,\tfrac{10}{3}\right)=\left(1,\; \tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Preparar para calcular a derivada direcional: definição e normalização da direção.
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção de um vetor v é dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário que indica a direção desejada. É importante usar o vetor unitário porque a derivada direcional mede a taxa de variação por unidade de deslocamento.
  • O vetor dado é v=(2,-1). Calcular sua norma:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • O vetor unitário associado é
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,-1)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\; -\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando produto escalar.
  • Usar \nabla f\!\left(1,\tfrac{10}{3}\right)=\left(1,\tfrac{1}{2}\right) e \mathbf{u}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}},-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right).
  • Fazer o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f\!\left(1,\tfrac{10}{3}\right) =1\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) =\frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2\sqrt{5}} =\frac{2-\tfrac{1}{2}}{\sqrt{5}} =\frac{\tfrac{3}{2}}{\sqrt{5}} =\frac{3}{2\sqrt{5}}.
  • Opcionalmente racionalizando o denominador:
\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{10}.

Resposta

(a) D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq 0,\; y\ge \tfrac{1}{3}\}.
(b) \nabla f\!\left(1,\tfrac{10}{3}\right)=\left(1,\; \tfrac{1}{2}\right).
(c) D_{\mathbf{u}}f\!\left(1,\tfrac{10}{3}\right)=\dfrac{3}{2\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}.

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