Determine e esboce o domínio da função f(x, y)=1+x-y. Qual é a imagem de f ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=1+x-y.
Este é um exercício de funções reais de duas variáveis, onde vamos analisar se há alguma restrição sobre (x,y) e depois ver quais valores f pode assumir.

Passo 2

Como f(x,y) é dada por uma expressão polinomial em x e y, não há nenhuma raiz, logaritmo ou divisão que imponha restrições. Logo todo par (x,y) em \R^2 é permitido.
\text{Domínio de }f = \{(x,y)\mid x\in\R,\;y\in\R\} = \R^2.

Passo 3

Para esboçar o domínio basta desenhar o plano cartesiano xy, pois todo ponto do plano faz parte do domínio. Não há curvas ou regiões excluídas — é o plano inteiro.

Passo 4

Para encontrar a imagem de f, note que, fixado qualquer valor real z_0, podemos resolver
1 + x - y = z_0 \quad\Longleftrightarrow\quad x - y = z_0 - 1.
Por exemplo, escolhemos x = t e y = t - (z_0 - 1) para qualquer t\in\R; assim f(t,\;t - (z_0 - 1))=z_0. Isso mostra que todo z_0\in\R é atingido por f.
\text{Imagem de }f = \R.

Resposta

Domínio: \R^2
Imagem: \R

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