Determine e esboce o domínio da função
. Qual é a imagem de
?
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
Este é um exercício de funções reais de duas variáveis, onde vamos analisar se há alguma restrição sobre
e depois ver quais valores
pode assumir.
Passo 2
Como
é dada por uma expressão polinomial em
e
, não há nenhuma raiz, logaritmo ou divisão que imponha restrições. Logo todo par
em
é permitido.
Passo 3
Para esboçar o domínio basta desenhar o plano cartesiano
, pois todo ponto do plano faz parte do domínio. Não há curvas ou regiões excluídas — é o plano inteiro.
Passo 4
Para encontrar a imagem de
, note que, fixado qualquer valor real
, podemos resolver
Por exemplo, escolhemos
e
para qualquer
; assim
. Isso mostra que todo
é atingido por
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: