- Determine e esboce o domínio da função.
f)
Passo 1
O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A função é de duas variáveis reais
e . - Há uma raiz quadrada no denominador: isso impõe restrições sobre o radicando
. - A resolução deve indicar o conjunto de pares
onde está definida (o domínio) e descrever/esboçar esse conjunto no plano .
Passo 2
Vamos entender as restrições impostas pela expressão
.
Primeira regra sobre raízes quadradas (números reais): dentro da raiz quadrada só podem aparecer números maiores ou iguais a zero. Ou seja, para que
seja real é necessário
Segunda regra por causa do denominador: não é permitido dividir por zero. Se
a fração fica indefinida. Portanto precisamos excluir o caso em que o radicando é exatamente zero. Assim, combinando as duas regras, o radicando deve ser estritamente positivo:
Passo 3
Agora transformamos a desigualdade para expressá-la de forma mais direta em termos de
.
Começamos com
Isolando
,
Multiplicando ambos os lados por
e invertendo o sinal da desigualdade (regra de desigualdades ao multiplicar por número negativo),
Portanto a condição equivalente e mais simples para o domínio é
.
Passo 4
Escrevendo o domínio em notação-conjunto:
Interpretação geométrica (útil para esboçar): a curva
é uma parábola com vértice em
que abre para cima. A desigualdade
descreve todos os pontos do plano que estão estritamente abaixo dessa parábola. A própria parábola não pertence ao domínio (porque aí o radicando seria zero e a função não seria definida).
Passo 5
Como esboçar (passo a passo prático para prova):
- Desenhe a parábola
(vértice em , passa por , , etc.). - Trace a curva com linha tracejada para indicar que ela não pertence ao domínio.
- Sombreie toda a região abaixo dessa parábola (isto é, para cada abscissa
escolha os menores que ). - Exemplo de pontos:
pertence a porque ; pertence porque ; não pertence porque .
Observação sobre comportamento: ao aproximar-se da curva
por baixo, o denominador tende a zero positivo, logo
. A função é contínua em todo o domínio
.