1. Determine e esboce o domínio da função.
f) f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-y}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função. A função dada é
f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-y}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é de duas variáveis reais x e y.
  • Há uma raiz quadrada no denominador: isso impõe restrições sobre o radicando x^{2}-y.
  • A resolução deve indicar o conjunto de pares (x,y) onde f está definida (o domínio) e descrever/esboçar esse conjunto no plano xy.

Passo 2

Vamos entender as restrições impostas pela expressão \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-y}}.
Primeira regra sobre raízes quadradas (números reais): dentro da raiz quadrada só podem aparecer números maiores ou iguais a zero. Ou seja, para que \sqrt{x^{2}-y} seja real é necessário
x^{2}-y \ge 0.
Segunda regra por causa do denominador: não é permitido dividir por zero. Se \sqrt{x^{2}-y}=0 a fração fica indefinida. Portanto precisamos excluir o caso em que o radicando é exatamente zero. Assim, combinando as duas regras, o radicando deve ser estritamente positivo:
x^{2}-y > 0.

Passo 3

Agora transformamos a desigualdade para expressá-la de forma mais direta em termos de y.
Começamos com
x^{2}-y > 0.
Isolando y,
-y > -x^{2}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo o sinal da desigualdade (regra de desigualdades ao multiplicar por número negativo),
y < x^{2}.
Portanto a condição equivalente e mais simples para o domínio é y < x^{2}.

Passo 4

Escrevendo o domínio em notação-conjunto:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y < x^{2}\}.
Interpretação geométrica (útil para esboçar): a curva y=x^{2} é uma parábola com vértice em (0,0) que abre para cima. A desigualdade y < x^{2} descreve todos os pontos do plano que estão estritamente abaixo dessa parábola. A própria parábola não pertence ao domínio (porque aí o radicando seria zero e a função não seria definida).

Passo 5

Como esboçar (passo a passo prático para prova):
  • Desenhe a parábola y=x^{2} (vértice em (0,0), passa por (1,1), (-1,1), etc.).
  • Trace a curva com linha tracejada para indicar que ela não pertence ao domínio.
  • Sombreie toda a região abaixo dessa parábola (isto é, para cada abscissa x escolha os y menores que x^{2}).
  • Exemplo de pontos: (0,-1) pertence a D porque -1<0^{2}; (1,0) pertence porque 0<1; (1,1) não pertence porque 1\not<1.
Observação sobre comportamento: ao aproximar-se da curva y=x^{2} por baixo, o denominador tende a zero positivo, logo f(x,y)\to +\infty. A função é contínua em todo o domínio D.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y < x^{2}\}

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