Encontre as funções f \circ g, g \circ f, f \circ f, g \circ g e seus dominios.
f(x)=\ln x, \quad g(x)=x^{2}-9

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções:
f(x)=\ln x,\qquad g(x)=x^{2}-9.
O que é pedido: encontrar as funções compostas f\circ g,\;g\circ f,\;f\circ f,\;g\circ g (ou seja, as expressões de cada composição) e determinar o domínio de cada uma.
Informações importantes dadas:
  • f é a função logaritmo natural; ela só está definida para argumentos positivos.
  • g é um polinômio quadrático; está definido para todos os números reais.

Passo 2

Definição prática e regra para domínio de uma composição.
  • Se h=f\circ g, então por definição h(x)=f(g(x)).
  • Regra para o domínio: o domínio de f\circ g é o conjunto dos x tais que
    1. x pertence ao domínio de g, e
    2. g(x) pertence ao domínio de f.
      Em símbolos:
    \operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Aplicando isso aqui: \operatorname{dom}(f)=(0,\infty) porque \ln exige argumento positivo. \operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Calcular f\circ g e seu domínio.
  • Expressão:
    (f\circ g)(x)=f(g(x))=\ln\big(g(x)\big)=\ln\big(x^{2}-9\big).
  • Domínio: precisamos de x\in\mathbb{R} tal que x^{2}-9>0 (argumento do \ln estritamente positivo).
    Resolver a desigualdade:
    x^{2}-9>0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-3)(x+3)>0.
    Fazendo a análise de sinais (ou lembrando que uma parábola x^2-9 é negativa entre as raízes e positiva fora delas), temos que a expressão é positiva quando
    x<-3\quad\text{ou}\quad x>3.
    Portanto
    \operatorname{dom}(f\circ g)=(-\infty,-3)\cup(3,\infty).

Passo 4

Calcular g\circ f e seu domínio.
  • Expressão:
    (g\circ f)(x)=g(f(x))=\big(f(x)\big)^{2}-9=\big(\ln x\big)^{2}-9.
  • Domínio: precisamos de x tal que x\in\operatorname{dom}(f), ou seja x>0. Não há restrição extra, pois \ln x é um número real para x>0, e quadrado menos 9 está sempre definido. Logo
    \operatorname{dom}(g\circ f)=(0,\infty).

Passo 5

Calcular f\circ f e seu domínio.
  • Expressão:
    (f\circ f)(x)=f(f(x))=\ln\big(f(x)\big)=\ln\big(\ln x\big).
  • Domínio: exigimos primeiro x\in\operatorname{dom}(f), isto é x>0. Além disso o argumento externo \ln x deve ser positivo:
    \ln x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>1.
    Portanto o domínio é
    \operatorname{dom}(f\circ f)=(1,\infty).

Passo 6

Calcular g\circ g e seu domínio.
  • Expressão:
    (g\circ g)(x)=g(g(x))=\big(g(x)\big)^{2}-9=\big(x^{2}-9\big)^{2}-9.
  • Domínio: g é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}; a composição de polinômios também é polinomial, logo está definida para todos os reais. Assim
    \operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty).

Resposta

(f\circ g)(x)=\ln\big(x^{2}-9\big),\quad \operatorname{dom}(f\circ g)=(-\infty,-3)\cup(3,\infty)
(g\circ f)(x)=\big(\ln x\big)^{2}-9,\quad \operatorname{dom}(g\circ f)=(0,\infty)
(f\circ f)(x)=\ln\big(\ln x\big),\quad \operatorname{dom}(f\circ f)=(1,\infty)
(g\circ g)(x)=\big(x^{2}-9\big)^{2}-9,\quad \operatorname{dom}(g\circ g)=(-\infty,\infty)

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