Encontre as funções
e seus dominios.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções:
O que é pedido: encontrar as funções compostas
(ou seja, as expressões de cada composição) e determinar o domínio de cada uma.
Informações importantes dadas:
-
é a função logaritmo natural; ela só está definida para argumentos positivos. -
é um polinômio quadrático; está definido para todos os números reais.
Passo 2
Definição prática e regra para domínio de uma composição.
- Se
, então por definição . - Regra para o domínio: o domínio de
é o conjunto dos tais que -
pertence ao domínio de , e -
pertence ao domínio de .
Em símbolos:
-
Aplicando isso aqui:
porque
exige argumento positivo.
.
Passo 3
Calcular
e seu domínio.
-
Expressão:
-
Domínio: precisamos de
tal que (argumento do estritamente positivo).
Resolver a desigualdade:Fazendo a análise de sinais (ou lembrando que uma parábolaé negativa entre as raízes e positiva fora delas), temos que a expressão é positiva quando Portanto
Passo 4
Calcular
e seu domínio.
-
Expressão:
-
Domínio: precisamos de
tal que , ou seja . Não há restrição extra, pois é um número real para , e quadrado menos está sempre definido. Logo
Passo 5
Calcular
e seu domínio.
-
Expressão:
-
Domínio: exigimos primeiro
, isto é . Além disso o argumento externo deve ser positivo: Portanto o domínio é
Passo 6
Calcular
e seu domínio.
-
Expressão:
-
Domínio:
é um polinômio definido para todo ; a composição de polinômios também é polinomial, logo está definida para todos os reais. Assim