1. Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
f) \frac{x^{2}}{4}+y^{2}-\frac{z^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície com equação
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}-\frac{z^{2}}{4}=1
e pede que eu use cortes (seções por planos) para esboçar e identificar a superfície.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação explícita é \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}-\dfrac{z^{2}}{4}=1.
  • Não há outras condições numéricas; a superfície está definida para todos os pontos (x,y,z) que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Interseções com os eixos coordenados (colocar dois coordenadas iguais a zero e resolver a terceira).
  • Interseção com o eixo x: tomar y=0 e z=0. Então \frac{x^{2}}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.Logo a superfície corta o eixo x nos pontos (\pm2,0,0).
  • Interseção com o eixo y: tomar x=0 e z=0. Então y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm 1.Logo corta o eixo y nos pontos (0,\pm1,0).
  • Interseção com o eixo z: tomar x=0 e y=0. Então -\frac{z^{2}}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad z^{2}=-4,que não tem solução real. Portanto, a superfície não intercepta o eixo z.

Passo 3

Cortes por planos horizontais z= constante (essas são as fatias mais intuitivas para esboçar).
Fixe z=z_{0}. A equação vira
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1+\frac{z_{0}^{2}}{4}.
Isso é a equação de uma elipse no plano z=z_{0}. Colocando em forma padrão:
\frac{x^{2}}{4\big(1+\dfrac{z_{0}^{2}}{4}\big)}+\frac{y^{2}}{1+\dfrac{z_{0}^{2}}{4}}=1.
Os semi-eixos dessa elipse são
a_x=\sqrt{4\Big(1+\frac{z_{0}^{2}}{4}\Big)}=\sqrt{4+z_{0}^{2}},\qquad a_y=\sqrt{1+\frac{z_{0}^{2}}{4}}.
Exemplos numéricos úteis para o esboço:
  • Para z_{0}=0: elipse \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 com semi-eixos a_x=2 e a_y=1.
  • Para z_{0}=2: elipse \dfrac{x^{2}}{8}+ \dfrac{y^{2}}{2}=1 com semi-eixos a_x=2\sqrt{2} e a_y=\sqrt{2}.
Conclusão desta etapa: todas as fatias horizontais são elipses, e o tamanho dessas elipses aumenta quando |z| cresce. As elipses existem para todo z\in\mathbb{R} (pois 1+\dfrac{z^2}{4}>0 sempre).

Passo 4

Cortes por planos verticais x= constante (planos paralelos ao plano yz).
Fixe x=x_{0}. A equação vira
y^{2}-\frac{z^{2}}{4}=1-\frac{x_{0}^{2}}{4}.
Esse é um ramo de hipérbole no plano x=x_{0}. O tipo de hipérbole muda conforme x_{0}:
  • Se |x_{0}|<2, então 1-\dfrac{x_{0}^{2}}{4}>0: a hipérbole tem eixos ao longo de y (abertura em direção a valores grandes de |y|).
  • Se |x_{0}|=2, então o lado direito é zero e a equação é y^{2}-\dfrac{z^{2}}{4}=0, que corresponde às retas assintóticas y=\pm \dfrac{z}{2}.
  • Se |x_{0}|>2, então 1-\dfrac{x_{0}^{2}}{4}<0: a forma é ainda uma hipérbole, mas agora “virada”, com aberturas mais relacionadas à direção z.
Exemplo simples: para x_{0}=0 obtemos y^{2}-\dfrac{z^{2}}{4}=1, uma hipérbole com assimptotas y=\pm \dfrac{z}{2}.

Passo 5

Cortes por planos verticais y= constante (planos paralelos ao plano xz).
Fixe y=y_{0}. A equação fica
\frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{4}=1-y_{0}^{2},
ou seja
x^{2}-z^{2}=4(1-y_{0}^{2}).
Também é uma família de hipérboles no plano y=y_{0}; o sinal do lado direito determina a orientação:
  • Para |y_{0}|<1 o lado direito é positivo: hipérbole com eje principal em x.
  • Para |y_{0}|=1 o lado direito é zero: obtemos as retas assintóticas x=\pm z.
  • Para |y_{0}|>1 o lado direito é negativo: hipérbole “invertida” (abertura preferencial em z).

Passo 6

Padrão conjunto das fatias e simetrias — interpretação geométrica.
  • Todas as seções horizontais ( z= constante) são elipses que crescem quando |z| aumenta. Isso indica que a superfície é contínua conforme sobe e desce em z e “alarga” para |z| grandes.
  • As seções verticais são hipérboles: no plano x=0 e em planos y= const aparecem hipérboles com diferentes orientações.
  • A equação só envolve x^{2},y^{2},z^{2} com coeficientes, então a superfície é simétrica em relação às reflexões x\mapsto -x, y\mapsto -y e z\mapsto -z. Não é rotacionalmente simétrica em torno do eixo z porque os coeficientes de x^{2} e y^{2} são distintos (coeficiente de x^{2} é 1/4, de y^{2} é 1).

Passo 7

Identificação formal e parametrização (mostra que tipo de quádricas é).
A forma geral
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
com dois termos positivos e um negativo (lado direito positivo) caracteriza um hipérboloide de uma folha. Comparando com a dada, temos [a^{2}=4), b^{2}=1, c^{2}=4. Portanto a superfície é um hipérboloide de uma folha.
Uma parametrização útil (que comprova a identificação) é:
\begin{cases} x=2\operatorname{cosh} u\cos v,\\[4pt] y=\operatorname{cosh} u\sin v,\\[4pt] z=2\operatorname{sinh} u, \end{cases} \qquad u\in\mathbb{R},\quad v\in[0,2\pi).
Substituindo na equação:
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}-\frac{z^{2}}{4} =\operatorname{cosh}^{2}u(\cos^{2}v+\sin^{2}v)-\operatorname{sinh}^{2}u =\operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1,
pois \operatorname{cosh}^{2}u-\operatorname{sinh}^{2}u=1\]. Assim a parametrização é válida e mostra explicitamente que a superfície é conectada (uma folha só) e se estende para todos os \(z.]

Passo 8

Cone assintótico (ajuda no esboço para |z| grande).
Para |z| grande, as elipses horizontais crescem e a superfície se aproxima do cone obtido ao zerar o termo constante:
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}-\frac{z^{2}}{4}=0.
Multiplicando por 4 x^{2}+4y^{2}-z^{2}=0, que é um cone duplo com geratrizes que, por exemplo, no plano y=0 são z=\pm x e no plano x=0 são z=\pm 2y. A superfície tende geometricamente a esse cone quando |z|\to\infty.

Passo 9

Como esboçar (passo a passo prático, para fazer à mão numa prova):
  1. Desenhe os pontos de interseção com os eixos: (\pm2,0,0) e (0,\pm1,0).
  2. No plano z=0 desenhe a elipse central \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 (semi-eixos 2 e 1).
  3. Desenhe elipses em z=\pm 1 e z=\pm 2 usando as semi-ordens calculadas (elas serão maiores que a central).
  4. No plano x=0 desenhe a hipérbole y^{2}-\dfrac{z^{2}}{4}=1 para entender a “abertura” vertical; isso ajuda a mostrar que a superfície é uma peça contínua que passa pela elipse central e se abre para fora.
  5. Trace as linhas guia do cone assintótico x^{2}+4y^{2}-z^{2}=0 para indicar a forma aproximada para |z| grandes.
  6. Marque simetrias e assegure que a superfície não corta o eixo z.

Resposta

Hipérboloide de uma folha.

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