- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
b)
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
tende a
:
As informações dadas que vamos usar: a função é
, a raiz quadrada está bem definida (sempre não negativa) para todo par
, e o ponto de interesse é
. O objetivo é determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Observação útil (definição de uma quantidade que simplifica as contas). Defina
Essa é a distância euclidiana do ponto
ao ponto
. Note que
e que
se, e somente se,
. Em termos de
a função fica
Vou trabalhar com
porque fica mais claro como comparar tamanhos e porque
é exatamente a condição
.
Passo 3
Desenvolvendo uma desigualdade que nos ajuda a controlar o módulo de
. Primeiro, a relação entre
e
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Como
, temos a desigualdade chave
Passo 4
Explicação do teorema que vamos usar: Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Convergência por Aperto).
O teorema diz: se são funções com
numa vizinhança de
(exceto possivelmente no próprio ponto) e
O teorema diz: se
então
.
No nosso caso aplicamos com ,
e
, mas como mostramos
e os limites de
são
quando
, concluiremos que o limite de
é
.
No nosso caso aplicamos com
Passo 5
Aplicando concretamente o Teorema do Sanduíche. Já temos
Sabemos que
pois cada termo
e
tende a
e a soma tende a
. Pelo Teorema do Sanduíche, com
e
tendo o mesmo limite
, segue que
Comentário pedagógico rápido: outra forma de ver é notar que
e
, então pelo teorema do produto de limites o produto tende a
. A versão com a desigualdade é mais direta porque dá um controle absoluto do módulo.