1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
As informações dadas que vamos usar: a função é f(x,y)=x\sqrt{x^{2}+y^{2}}, a raiz quadrada está bem definida (sempre não negativa) para todo par (x,y), e o ponto de interesse é (0,0). O objetivo é determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Observação útil (definição de uma quantidade que simplifica as contas). Defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Essa é a distância euclidiana do ponto (x,y) ao ponto (0,0). Note que r\ge 0 e que (x,y)\to(0,0) se, e somente se, r\to 0. Em termos de r a função fica
f(x,y)=x\sqrt{x^{2}+y^{2}} = x\; r.
Vou trabalhar com r porque fica mais claro como comparar tamanhos e porque r\to0 é exatamente a condição (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Desenvolvendo uma desigualdade que nos ajuda a controlar o módulo de f. Primeiro, a relação entre |x| e r:
r^{2}=x^{2}+y^{2}\ge x^{2}\quad\Rightarrow\quad r\ge |x|.
Multiplicando ambos os lados por r\ge0 obtemos
r\cdot |x| \le r\cdot r = r^{2}.
Como |f(x,y)| = |x|\,r, temos a desigualdade chave
0 \le |f(x,y)| \le r^{2}.

Passo 4

Explicação do teorema que vamos usar: Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Convergência por Aperto).
O teorema diz: se g,h são funções com g(x,y)\le f(x,y)\le h(x,y) numa vizinhança de (0,0) (exceto possivelmente no próprio ponto) e
\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y) = L,
então \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = L.
No nosso caso aplicamos com g(x,y)=-r^{2}, f(x,y)=x r e h(x,y)=r^{2}, mas como mostramos -r^{2}\le x r \le r^{2} e os limites de \pm r^{2} são 0 quando r\to0, concluiremos que o limite de x r é 0.

Passo 5

Aplicando concretamente o Teorema do Sanduíche. Já temos
0 \le |x\sqrt{x^{2}+y^{2}}| \le r^{2} = x^{2}+y^{2}.
Sabemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2}) = 0,
pois cada termo x^{2} e y^{2} tende a 0 e a soma tende a 0. Pelo Teorema do Sanduíche, com 0 e x^{2}+y^{2} tendo o mesmo limite 0, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 0.
Comentário pedagógico rápido: outra forma de ver é notar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} x = 0 e \lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 0, então pelo teorema do produto de limites o produto tende a 0. A versão com a desigualdade é mais direta porque dá um controle absoluto do módulo.

Resposta

0

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