Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y, z)=\ln (z-y)+x y \operatorname{sen} z

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\ln(z-y)+x\,y\,\operatorname{sen} z e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em que f está bem definida).
  • Esboçar esse domínio no espaço (x,y,z).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há um termo \ln(z-y) (logaritmo natural) na expressão.
  • Há um termo x\,y\,\operatorname{sen} z que envolve produto e seno.
  • Nenhuma outra restrição explícita é dada.

Passo 2

Entender a restrição do logaritmo: o logaritmo natural \ln(t) está definido somente para argumentos positivos. Explicando devagarinho:
  • A função \ln é definida em todos os t\in\mathbb{R} tais que t>0.
  • Se t\le 0 então \ln(t) não é um número real (não está definido no conjunto dos números reais).
Aplicando isso ao nosso caso, o argumento do logaritmo é z-y. Logo, para \ln(z-y) existir (como número real) precisamos de
z-y>0.

Passo 3

Verificar se há mais restrições oriundas dos outros termos: o termo x\,y\,\operatorname{sen} z é composto por operações (multiplicação e seno) que estão definidas para todos os x,y,z\in\mathbb{R}.
  • A função \operatorname{sen} z está definida para todo z\in\mathbb{R}.
  • Multiplicar por x e y não acrescenta restrição.
Portanto, a única restrição é a que vem do logaritmo: z-y>0.

Passo 4

Escrever o domínio em notação matemática clara. O domínio D é o conjunto de todos os tripletos reais (x,y,z) que satisfazem a desigualdade obtida:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z-y>0\}.
Equivalente, e mais simples de ler:
D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z>y\}.

Passo 5

Interpretar geometricamente a condição z>y:
  • A equação z=y define um plano no espaço \mathbb{R}^3. Esse plano é inclinado, passando por todos os pontos cujo coordenada z é igual à coordenada y.
  • A desigualdade z>y seleciona o meio-espaço aberto “acima” desse plano (no sentido em que z é maior que y). O plano z=y é a fronteira do domínio, e essa fronteira não pertence ao domínio porque a desigualdade é estrita.

Passo 6

Caracterizar o plano z=y de forma útil para desenhar:
  • Podemos escrever o plano como \{(x,y,z)\mid z-y=0\}.
  • Um vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(0,-1,1), porque \mathbf{n}\cdot(x,y,z) = 0\cdot x + (-1)\cdot y + 1\cdot z = z-y.
  • O domínio é o conjunto dos pontos cujo produto escalar com \mathbf{n} é positivo: \mathbf{n}\cdot(x,y,z)>0.

Passo 7

Instruções práticas para esboçar (passo a passo para fazer no papel):
  1. Desenhe os três eixos x, y e z. Normalmente x aponta para a direita, y para cima do plano do papel e z para cima (ou conforme o convênio que preferir).
  2. No plano formado pelos eixos y e z desenhe a reta z=y (uma linha a 45^\circ nesse plano). Essa reta é a interseção do plano z=y com o plano x=0.
  3. Para dar ideia do plano no espaço, desenhe várias linhas paralelas a essa reta deslocadas ao longo do eixo x; essas linhas juntas representam o plano completo z=y.
  4. Como o domínio exige z>y, sombreie (ou pinte com tracejado) a região do espaço que fica “do lado de cima” do plano z=y, e deixe o próprio plano como uma linha/folha tracejada (para indicar que a fronteira não está incluída).
  5. Lembrete visual: para um ponto teste, por exemplo (0,0,1), temos 1>0 então está no domínio; para (0,1,0), temos 0>1 falso, então não está no domínio.

Passo 8

Algumas seções transversais e parametrizações que ajudam a entender:
  • Se fixarmos x=x_0 qualquer valor real, a seção do domínio por esse plano vertical é a mesma: \{(y,z)\in\mathbb{R}^2\mid z>y\}. Ou seja, x não influencia a restrição.
  • Se fixarmos z=z_0 então a condição vira y<z_0: para esse z_0 o domínio é todos os pontos com y<z_0 (e x livre).
  • Parametrização simples do domínio: todo ponto do domínio pode ser escrito como
(x,y,z)=(x,y,y+t),
com x\in\mathbb{R}, y\in\mathbb{R} e t\in(0,\infty). Aqui t=z-y>0.

Passo 9

Observações finais e propriedades úteis para a prova:
  • O domínio é um meio-espaço aberto em \mathbb{R}^3 (aberto porque a desigualdade é estrita).
  • A fronteira do domínio é exatamente o plano \{z=y\}, que não pertence ao domínio.
  • Qualquer operação contínua (como derivadas parciais) que se queira fazer em f só será válida dentro desse meio-espaço aberto, ponto a ponto, porque na fronteira a função não é definida.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z-y>0\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z>y\}

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