Determine e esboce o domínio da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função (ou seja, o conjunto de todos os pontos
em que está bem definida). - Esboçar esse domínio no espaço
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há um termo
(logaritmo natural) na expressão. - Há um termo
que envolve produto e seno. - Nenhuma outra restrição explícita é dada.
Passo 2
Entender a restrição do logaritmo: o logaritmo natural
está definido somente para argumentos positivos. Explicando devagarinho:
- A função
é definida em todos os tais que . - Se
então não é um número real (não está definido no conjunto dos números reais).
Aplicando isso ao nosso caso, o argumento do logaritmo é
. Logo, para
existir (como número real) precisamos de
Passo 3
Verificar se há mais restrições oriundas dos outros termos: o termo
é composto por operações (multiplicação e seno) que estão definidas para todos os
.
- A função
está definida para todo . - Multiplicar por
e não acrescenta restrição.
Portanto, a única restrição é a que vem do logaritmo:
.
Passo 4
Escrever o domínio em notação matemática clara. O domínio
é o conjunto de todos os tripletos reais
que satisfazem a desigualdade obtida:
Equivalente, e mais simples de ler:
Passo 5
Interpretar geometricamente a condição
:
- A equação
define um plano no espaço . Esse plano é inclinado, passando por todos os pontos cujo coordenada é igual à coordenada . - A desigualdade
seleciona o meio-espaço aberto “acima” desse plano (no sentido em que é maior que ). O plano é a fronteira do domínio, e essa fronteira não pertence ao domínio porque a desigualdade é estrita.
Passo 6
Caracterizar o plano
de forma útil para desenhar:
- Podemos escrever o plano como
. - Um vetor normal ao plano é
, porque . - O domínio é o conjunto dos pontos cujo produto escalar com
é positivo: .
Passo 7
Instruções práticas para esboçar (passo a passo para fazer no papel):
- Desenhe os três eixos
, e . Normalmente aponta para a direita, para cima do plano do papel e para cima (ou conforme o convênio que preferir). - No plano formado pelos eixos
e desenhe a reta (uma linha a nesse plano). Essa reta é a interseção do plano com o plano . - Para dar ideia do plano no espaço, desenhe várias linhas paralelas a essa reta deslocadas ao longo do eixo
; essas linhas juntas representam o plano completo . - Como o domínio exige
, sombreie (ou pinte com tracejado) a região do espaço que fica “do lado de cima” do plano , e deixe o próprio plano como uma linha/folha tracejada (para indicar que a fronteira não está incluída). - Lembrete visual: para um ponto teste, por exemplo
, temos então está no domínio; para , temos falso, então não está no domínio.
Passo 8
Algumas seções transversais e parametrizações que ajudam a entender:
- Se fixarmos
qualquer valor real, a seção do domínio por esse plano vertical é a mesma: . Ou seja, não influencia a restrição. - Se fixarmos
então a condição vira : para esse o domínio é todos os pontos com (e livre). - Parametrização simples do domínio: todo ponto do domínio pode ser escrito como
com
,
e
. Aqui
.
Passo 9
Observações finais e propriedades úteis para a prova:
- O domínio é um meio-espaço aberto em
(aberto porque a desigualdade é estrita). - A fronteira do domínio é exatamente o plano
, que não pertence ao domínio. - Qualquer operação contínua (como derivadas parciais) que se queira fazer em
só será válida dentro desse meio-espaço aberto, ponto a ponto, porque na fronteira a função não é definida.