Uma função
é chamada função homogênea de grau
se
para todo
e para todo
tais que
. Determine se as funções abaixo são homogêneas.
onde a, b, c são constantes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é uma função homogênea e, em caso afirmativo, qual é o grau de homogeneidade. As informações dadas são:
-
são constantes (podem ser zero ou não); - a definição:
é homogênea de grau se, para todo e todo tal que pertence ao domínio, vale
Passo 2
Vamos aplicar diretamente a definição calculando
. Substituindo
e
em
, obtemos:
Agora desenvolve cada termo com cuidado:
Substituindo essas expressões em
resulta:
Passo 3
Fatorando
em todos os termos do lado direito:
Mas o parenteses é exatamente
. Portanto chegamos a
Isto mostra que, para todo
(desde que
esteja no domínio), a relação da definição é satisfeita com
.
Passo 4
Interpretação e observações didáticas:
- Cada monômio da forma
, , tem soma dos expoentes igual a ; em geral um polinômio é homogêneo de grau quando todos os monômios que aparecem têm soma de expoentes igual a . Aqui todos têm soma , logo é homogêneo de grau . - Caso especial: se
então . A função zero satisfaz para qualquer , ou seja é a situação trivial (pode ser vista como homogênea de qualquer grau), mas também satisfaz a relação com . - Exemplo contrastante: se houvesse um termo constante ou linear, por exemplo
, então
que não é igual a
para um único
em geral; portanto
não seria homogênea.
Resposta
A função é homogênea de grau
.