Uma função f: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é chamada função homogênea de grau n \in \mathbb{Z} se f(t x, t y)= t^{n} f(x, y) para todo t>0 e para todo (x, y) \in D tais que (t x, t y) \in D. Determine se as funções abaixo são homogêneas.
f(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2} onde a, b, c são constantes.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função
f(x,y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}
é uma função homogênea e, em caso afirmativo, qual é o grau de homogeneidade. As informações dadas são:
  • a,b,c são constantes (podem ser zero ou não);
  • a definição: f é homogênea de grau n\in\mathbb{Z} se, para todo t>0 e todo (x,y) tal que (t x,t y) pertence ao domínio, vale
f(t x,t y)=t^{n}f(x,y).

Passo 2

Vamos aplicar diretamente a definição calculando f(t x,t y). Substituindo x\mapsto t x e y\mapsto t y em f, obtemos:
f(t x,t y)=a\,(t x)^{2}+2b\,(t x)(t y)+c\,(t y)^{2}.
Agora desenvolve cada termo com cuidado:
(t x)^{2}=t^{2}x^{2},\qquad (t x)(t y)=t^{2}xy,\qquad (t y)^{2}=t^{2}y^{2}.
Substituindo essas expressões em f(t x,t y) resulta:
f(t x,t y)=a\,t^{2}x^{2}+2b\,t^{2}xy+c\,t^{2}y^{2}.

Passo 3

Fatorando t^{2} em todos os termos do lado direito:
f(t x,t y)=t^{2}\bigl(a x^{2}+2b x y+c y^{2}\bigr).
Mas o parenteses é exatamente f(x,y). Portanto chegamos a
f(t x,t y)=t^{2}f(x,y).
Isto mostra que, para todo t>0 (desde que (t x,t y) esteja no domínio), a relação da definição é satisfeita com n=2.

Passo 4

Interpretação e observações didáticas:
  • Cada monômio da forma x^{2}, xy, y^{2} tem soma dos expoentes igual a 2; em geral um polinômio é homogêneo de grau n quando todos os monômios que aparecem têm soma de expoentes igual a n. Aqui todos têm soma 2, logo é homogêneo de grau 2.
  • Caso especial: se a=b=c=0 então f\equiv0. A função zero satisfaz 0=t^{n}0 para qualquer n, ou seja é a situação trivial (pode ser vista como homogênea de qualquer grau), mas também satisfaz a relação com n=2.
  • Exemplo contrastante: se houvesse um termo constante ou linear, por exemplo g(x,y)=a x^{2}+d x, então
g(t x,t y)=t^{2}a x^{2}+t d x,
que não é igual a t^{n}g(x,y) para um único n em geral; portanto g não seria homogênea.

Resposta

A função é homogênea de grau 2.

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