Mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
não existe. As informações dadas são apenas a expressão da função f(x,y)=\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} (note que f não está definida em (0,0) porque o denominador fica zero). O objetivo é analisar o comportamento de f(x,y) quando o par (x,y) se aproxima de (0,0) e concluir se existe ou não um valor único que a função tende.

Passo 2

Ideia e justificativa do método que vamos usar: para limites em várias variáveis, um critério simples para mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (ou caminhos) que se aproximam de (0,0) pelas quais os valores de f(x,y) tendem a limites diferentes. Explicando por que isso vale: se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
existisse, então para qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) os valores f(x_n,y_n) deveriam tender a L. Em particular, aproximando por duas linhas ou curvas diferentes, o limite ao longo de cada uma teria que ser o mesmo L. Portanto, encontrar duas aproximações cujo limite seja distinto prova que o limite geral não existe. Vou aplicar esse teste com caminhos simples (retas e o eixo x / eixo y) e também mostrar a visão em coordenadas polares para reforçar a razão.

Passo 3

Análise ao longo de retas y=mx (com m constante real): substituir y=mx na expressão. Para x\neq0,
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(mx)^{2}}{x^{2}+(mx)^{2}}=\frac{m^{2}x^{2}}{x^{2}(1+m^{2})}=\frac{m^{2}}{1+m^{2}}.
Ao mandar x\to 0 mantendo y=mx, o valor da função é constante e igual a
\frac{m^{2}}{1+m^{2}}.
Ou seja, o limite ao longo da reta y=mx é \dfrac{m^{2}}{1+m^{2}}, que depende de m.

Passo 4

Escolher dois valores de m que deem limites diferentes.
  • Para m=0 (reta y=0, isto é aproximar-se pelo eixo x) obtemos
\frac{m^{2}}{1+m^{2}}=\frac{0^{2}}{1+0^{2}}=0.
Logo, ao aproximar por y=0 o limite é 0.
  • Para a reta vertical x=0 (que não é da forma y=mx com m finito, mas é um caminho simples), com x=0 e y\neq0 temos
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{y^{2}}{0+y^{2}}=1.
Assim, ao aproximar por x=0 (o eixo y) o valor da função é 1.
Como 0\neq 1, encontramos dois caminhos para (0,0) que levam a limites diferentes. Portanto o limite não pode existir.

Passo 5

Complemento didático com coordenadas polares (mostra de maneira elegante por que o limite depende da direção). Fazer a troca x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então, para r>0,
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta}=\frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}}=\sin^{2}\theta.
Ao fazer r\to 0 (isto é (x,y)\to(0,0)) esse valor não depende de r e permanece igual a \sin^{2}\theta, que varia com o ângulo \theta. Portanto o valor limite, se existisse, teria de ser o mesmo para todos os \theta; como \sin^{2}\theta não é constante (por exemplo \sin^{2}0=0 e \sin^{2}(\pi/2)=1), o limite depende da direção de aproximação e assim não existe.

Resposta

O limite não existe.

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