Mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. As informações dadas são apenas a expressão da função
(note que
não está definida em
porque o denominador fica zero). O objetivo é analisar o comportamento de
quando o par
se aproxima de
e concluir se existe ou não um valor único que a função tende.
Passo 2
Ideia e justificativa do método que vamos usar: para limites em várias variáveis, um critério simples para mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (ou caminhos) que se aproximam de
pelas quais os valores de
tendem a limites diferentes. Explicando por que isso vale: se
existisse, então para qualquer sequência
os valores
deveriam tender a
. Em particular, aproximando por duas linhas ou curvas diferentes, o limite ao longo de cada uma teria que ser o mesmo
. Portanto, encontrar duas aproximações cujo limite seja distinto prova que o limite geral não existe. Vou aplicar esse teste com caminhos simples (retas e o eixo
/ eixo
) e também mostrar a visão em coordenadas polares para reforçar a razão.
Passo 3
Análise ao longo de retas
(com
constante real): substituir
na expressão. Para
,
Ao mandar
mantendo
, o valor da função é constante e igual a
Ou seja, o limite ao longo da reta
é
, que depende de
.
Passo 4
Escolher dois valores de
que deem limites diferentes.
- Para
(reta , isto é aproximar-se pelo eixo ) obtemos
Logo, ao aproximar por
o limite é
.
- Para a reta vertical
(que não é da forma com finito, mas é um caminho simples), com e temos
Assim, ao aproximar por
(o eixo
) o valor da função é
.
Como
, encontramos dois caminhos para
que levam a limites diferentes. Portanto o limite não pode existir.
Passo 5
Complemento didático com coordenadas polares (mostra de maneira elegante por que o limite depende da direção). Fazer a troca
,
. Então, para
,
Ao fazer
(isto é
) esse valor não depende de
e permanece igual a
, que varia com o ângulo
. Portanto o valor limite, se existisse, teria de ser o mesmo para todos os
; como
não é constante (por exemplo
e
), o limite depende da direção de aproximação e assim não existe.
Resposta
O limite não existe.