Determine e esboce o domínio da função f se f(x, y, z)=raiz[4]z^2-y^2-x^2

Passo 1

A função $f(x,y,z) = \sqrt[4]{z^2 - y^2 - x^2}$ pertence à matéria de domínio de funções de várias variáveis; para encontrar o domínio, precisamos garantir que o radicando $z^2 - y^2 - x^2$ seja maior ou igual a zero, já que só assim a raiz quarta fica definida em $\mathbb{R}$.

Passo 2

Impondo a condição de existência da raiz, exigimos que $z^2 - y^2 - x^2 \ge 0$. Reorganizando a desigualdade, obtemos $z^2 \ge x^2 + y^2$, ou seja $x^2 + y^2 \le z^2$.

Passo 3

Geometricamente, a desigualdade $x^2 + y^2 \le z^2$ define um cone duplo no $\mathbb{R}^3$, com vértice na origem e eixo ao longo de $z$. Ao esboçar, vemos que para cada plano $z = c$, a seção é um círculo de raio $|c|$, preenchendo tanto a parte superior $(z \ge \sqrt{x^2 + y^2})$ quanto a inferior $(z \le -\sqrt{x^2 + y^2})$.

Resposta

$\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 \le z^2\}$

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