A função f: R R é tal que, forall x in R, f(3 x)=3 f(x). Se f(9)=45, calcule f(1).
Resolução:
Dado
f(9)=f(3(3))=3 f(3)=45 Rightarrow f(3)=453 Rightarrow f(3)=15
Então:
f(3)=f(3(1))=3 f(1)=15 Rightarrow f(1)=153 Rightarrow f(1)=5

Passo 1

O problema pede para encontrar o valor de f(1) sabendo que a função f:RtoR satisfaz a relação de homogeneidade f(3x)=3f(x) para todo x e que f(9)=45. Vamos usar essa propriedade de escala sucessivamente para reduzir o argumento de 9 até 1.

Passo 2

Aplicando a relação f(3x)=3f(x) com x=3, temos:
f(9)=3f(3)
Como f(9)=45, segue:
3f(3)=45
Logo,
f(3)=453=15

Passo 3

Agora aplicamos a mesma relação com x=1 para achar f(1):
f(3)=3f(1)Substituindo f(3)=15, obtemos:
3f(1)=15
Portanto,
f(1)=153=5

Resposta

f(1)=5

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