Determine os valores de
para que:
Passo 1
O enunciado dá a série
com
e pede: para quais valores de
essa soma diverge para
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A série é de termos positivos, cada termo é
. - O parâmetro
varia em .
Pergunta explícita: determinar o conjunto detais que .
Passo 2
Observação simples do caso
.
Se , cada termo é
.
Portanto a série é , que claramente diverge para
(a soma parcial
). Logo
pertence ao conjunto pedido.
Se
Portanto a série é
Passo 3
Para tratar
vamos usar um critério muito útil para séries de termos positivos: o teste integral (também chamado de critério da integral). Vou explicar o que é esse teste e quando ele pode ser aplicado.
Teste integral (enunciado e interpretação): seja contínua, positiva e decrescente. Então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Se a integral diverge, a série diverge. Em palavras: para funções positivas e decrescentes, a soma discreta se comporta como a área contínua sob a curva.
Teste integral (enunciado e interpretação): seja
Explico por que podemos aplicar: tomamos
. Vou verificar as hipóteses:
- Para
, é positiva para . - Derivada:
. Como , temos para , logo é decrescente. -
é contínua em .
Portanto, para, podemos aplicar o teste integral à série .
Passo 4
Aplicando o teste integral: analisar a integral imprópria
Vou calcular essa integral dependendo de
.
Passo 5
Cálculo da integral quando
. Para
podemos integrar potência:
Agora tomamos
. O comportamento depende do sinal de
:
- Se
(ou seja, ), então quando , logo a integral diverge para . - Se
(ou seja, ), então quando , e a expressão tende a , finita. Portanto a integral converge quando .
Passo 6
Caso especial
. Para
a integranda é
. Calculamos
Ao fazer
temos
, então a integral diverge para
. Pelo teste integral, isso implica que a série
(a série harmônica) diverge.
Passo 7
Resumindo as conclusões do teste integral (e do caso
já tratado):
- Para
: a integral converge, logo a série converge (não diverge). - Para
: a integral diverge ( ), logo a série diverge. - Para
: a integral diverge (pois ), logo a série diverge. - Para
: já vimos que a série é e diverge.
Portanto a série diverge exatamente para os
tais que
.
Passo 8
Interpretação intuitiva rápida (pra fixar): a série tem termos que decaem como
. Se
os termos decaem rápido o suficiente para a soma parcial estabilizar (convergir). Se
os termos não diminuem suficientemente rápido e a acumulação das parcelas dá infinito. O caso
é o limite crítico (série harmônica), já divergente.