Determine os valores de \alpha \geq 0 para que:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}=+\infty

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}} com \alpha\geq 0 e pede: para quais valores de \alpha essa soma diverge para +\infty.
Informações relevantes dadas:
  • A série é de termos positivos, cada termo é \dfrac{1}{k^{\alpha}}.
  • O parâmetro \alpha varia em [0,\infty).
    Pergunta explícita: determinar o conjunto de \alpha\geq 0 tais que \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}} = +\infty.

Passo 2

Observação simples do caso \alpha=0.
Se \alpha=0, cada termo é
\dfrac{1}{k^{0}} = 1.
Portanto a série é \sum_{k=1}^{\infty} 1, que claramente diverge para +\infty (a soma parcial S_n=n\to\infty). Logo \alpha=0 pertence ao conjunto pedido.

Passo 3

Para tratar \alpha>0 vamos usar um critério muito útil para séries de termos positivos: o teste integral (também chamado de critério da integral). Vou explicar o que é esse teste e quando ele pode ser aplicado.
Teste integral (enunciado e interpretação): seja f:[1,\infty)\to(0,\infty) contínua, positiva e decrescente. Então a série \sum_{k=1}^{\infty} f(k) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge. Se a integral diverge, a série diverge. Em palavras: para funções positivas e decrescentes, a soma discreta se comporta como a área contínua sob a curva.
Explico por que podemos aplicar: tomamos f(x)=x^{-\alpha}. Vou verificar as hipóteses:
  • Para \alpha>0, f é positiva para x\ge1.
  • Derivada: f'(x) = -\alpha x^{-\alpha-1}. Como \alpha>0, temos f'(x)<0 para x\ge1, logo f é decrescente.
  • f é contínua em [1,\infty).
    Portanto, para \alpha>0, podemos aplicar o teste integral à série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{\alpha}}.

Passo 4

Aplicando o teste integral: analisar a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha}\,dx.
Vou calcular essa integral dependendo de \alpha.

Passo 5

Cálculo da integral quando \alpha\neq 1. Para \alpha\neq 1 podemos integrar potência:
\int_{1}^{b} x^{-\alpha}\,dx = \left[\frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_{x=1}^{x=b} = \frac{b^{\,1-\alpha}-1}{1-\alpha}.
Agora tomamos b\to\infty. O comportamento depende do sinal de 1-\alpha:
  • Se 1-\alpha>0 (ou seja, \alpha<1), então b^{\,1-\alpha}\to\infty quando b\to\infty, logo a integral diverge para +\infty.
  • Se 1-\alpha<0 (ou seja, \alpha>1), então b^{\,1-\alpha}\to 0 quando b\to\infty, e a expressão tende a \dfrac{0-1}{1-\alpha}=\dfrac{1}{\alpha-1}, finita. Portanto a integral converge quando \alpha>1.

Passo 6

Caso especial \alpha=1. Para \alpha=1 a integranda é x^{-1}=\dfrac{1}{x}. Calculamos
\int_{1}^{b} \frac{1}{x}\,dx = \ln b.
Ao fazer b\to\infty temos \ln b\to\infty, então a integral diverge para +\infty. Pelo teste integral, isso implica que a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} (a série harmônica) diverge.

Passo 7

Resumindo as conclusões do teste integral (e do caso \alpha=0 já tratado):
  • Para \alpha>1: a integral \int_{1}^{\infty} x^{-\alpha}\,dx converge, logo a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}} converge (não diverge).
  • Para \alpha=1: a integral diverge ( \ln b\to\infty), logo a série diverge.
  • Para 0<\alpha<1: a integral diverge (pois 1-\alpha>0), logo a série diverge.
  • Para \alpha=0: já vimos que a série é \sum 1 e diverge.
Portanto a série diverge exatamente para os \alpha tais que \alpha\leq 1.

Passo 8

Interpretação intuitiva rápida (pra fixar): a série tem termos que decaem como 1/k^{\alpha}. Se \alpha>1 os termos decaem rápido o suficiente para a soma parcial estabilizar (convergir). Se \alpha\leq 1 os termos não diminuem suficientemente rápido e a acumulação das parcelas dá infinito. O caso \alpha=1 é o limite crítico (série harmônica), já divergente.

Resposta

\alpha\in[0,1]

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