Seja a função escalar f(x, y)=x^{2}+y^{2}.
a) Calcule o gradiente de f, isto é nablaf ( x, y ).
b) Determinar o vetor gradiente no ponto (1,2).
c) Descreva a direção do vetor gradiente nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2} e pede três coisas:
  1. Calcular o gradiente de f, isto é \nabla f(x,y).
  2. Determinar o vetor gradiente no ponto (1,2).
  3. Descrever a direção do vetor gradiente nesse ponto.
Informações relevantes fornecidas:
\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2} e o ponto onde devemos avaliar é (1,2).

Passo 2

O que é o gradiente e como calculamos? Vou explicar devagarinho. Para uma função de duas variáveis \displaystyle f(x,y), o gradiente é o vetor que reúne as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Em notação:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} significa: derivar f tratando y como constante (ou seja, olhar só como a parte que muda com x). E \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} é análogo, derivando em relação a y e mantendo x fixo.
Intuição rápida (útil para a prova): o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f; o módulo do gradiente diz quão rápido f cresce nessa direção. Além disso, o gradiente é perpendicular às curvas de nível (as curvas onde f é constante).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de \displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Primeiro derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Ao derivar, y^{2} é tratado como constante (derivada zero) e a derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=2x.
Agora derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big).
Aqui x^{2} é constante (derivada zero) e a derivada de y^{2} em relação a y é 2y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=2y.

Passo 4

Juntando as duas componentes obtemos o gradiente geral:
\nabla f(x,y)=\big(2x,\;2y\big).
Observação didática: podemos também escrever \nabla f(x,y)=2(x,y), o que mostra que o gradiente de x^{2}+y^{2} é simplesmente duas vezes o vetor posição (x,y).

Passo 5

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,2). Substituímos x=1 e y=2 em \nabla f(x,y)=(2x,2y):
\nabla f(1,2) = \big(2\cdot 1,\;2\cdot 2\big) = (2,\;4).
Mostrei passo a passo: 2\cdot 1=2 e 2\cdot 2=4.

Passo 6

Descrever a direção do vetor gradiente em (1,2).
  • Direção geométrica: o vetor (2,4) tem a mesma direção do vetor (1,2) (porque (2,4)=2\cdot(1,2)). Portanto o gradiente aponta radialmente para fora do ponto em direção ao vetor posição (1,2) — ou seja, aponta para longe da origem, perpendicular à circunferência de nível que passa por (1,2).
  • Se quiser a direção como vetor unitário (muito útil na prova quando pedirem “direção normalizada”): primeiro calculamos o módulo de (2,4):
\|\,(2,4)\,\|=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Dividindo pelo módulo obtemos o vetor unitário na direção do gradiente:
\frac{(2,4)}{2\sqrt{5}}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Resumo prático para a prova: diga que a direção é a do vetor (1,2) (ou apresente o vetor unitário \left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right) se quiser normalizado). Isso já responde o que normalmente pedem.

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=(2x,2y)
(b) \nabla f(1,2)=(2,4)
(c) direção: ao longo de (1,2); vetor unitário na direção \displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)

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