Seja a função escalar
.
a) Calcule o gradiente de f, isto é nablaf (
).
b) Determinar o vetor gradiente no ponto
.
c) Descreva a direção do vetor gradiente nesse ponto.
a) Calcule o gradiente de f, isto é nablaf (
b) Determinar o vetor gradiente no ponto
c) Descreva a direção do vetor gradiente nesse ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Calcular o gradiente de
, isto é . - Determinar o vetor gradiente no ponto
. - Descrever a direção do vetor gradiente nesse ponto.
Informações relevantes fornecidas:
e o ponto onde devemos avaliar é
.
Passo 2
O que é o gradiente e como calculamos? Vou explicar devagarinho. Para uma função de duas variáveis
, o gradiente é o vetor que reúne as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Em notação:
Aqui
significa: derivar
tratando
como constante (ou seja, olhar só como a parte que muda com
). E
é análogo, derivando em relação a
e mantendo
fixo.
Intuição rápida (útil para a prova): o gradiente aponta na direção de maior crescimento de
; o módulo do gradiente diz quão rápido
cresce nessa direção. Além disso, o gradiente é perpendicular às curvas de nível (as curvas onde
é constante).
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
.
Primeiro derivada parcial em relação a
:
Ao derivar,
é tratado como constante (derivada zero) e a derivada de
em relação a
é
. Logo
Agora derivada parcial em relação a
:
Aqui
é constante (derivada zero) e a derivada de
em relação a
é
. Assim
Passo 4
Juntando as duas componentes obtemos o gradiente geral:
Observação didática: podemos também escrever
, o que mostra que o gradiente de
é simplesmente duas vezes o vetor posição
.
Passo 5
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Substituímos
e
em
:
Mostrei passo a passo:
e
.
Passo 6
Descrever a direção do vetor gradiente em
.
-
Direção geométrica: o vetor
tem a mesma direção do vetor (porque ). Portanto o gradiente aponta radialmente para fora do ponto em direção ao vetor posição — ou seja, aponta para longe da origem, perpendicular à circunferência de nível que passa por . -
Se quiser a direção como vetor unitário (muito útil na prova quando pedirem “direção normalizada”): primeiro calculamos o módulo de
:
Dividindo pelo módulo obtemos o vetor unitário na direção do gradiente:
Resumo prático para a prova: diga que a direção é a do vetor
(ou apresente o vetor unitário
se quiser normalizado). Isso já responde o que normalmente pedem.
Resposta
(a)
(b)
(c) direção: ao longo de ; vetor unitário na direção
(b)
(c) direção: ao longo de