Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais indicadas para cada uma das funções dadas:
onde
Passo 1
Temos a função composta
w(x,y,z)=cos(xy)+e^{yz}
com x=2t+1, y=t^2, z=1/t. O conteúdo é a regra da cadeia para derivada de função de várias variáveis composta com funções de uma variável.
w(x,y,z)=cos(xy)+e^{yz}
com x=2t+1, y=t^2, z=1/t. O conteúdo é a regra da cadeia para derivada de função de várias variáveis composta com funções de uma variável.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de w em relação a x, y e z. Da definição de derivada parcial e usando a derivada de cos(u) e e^u, temos:
Passo 3
Agora derivamos x, y e z em relação a t:
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo as parciais e as derivadas de x,y,z, além de x=2t+1, y=t^2, z=1/t, obtemos:
Em seguida, trocando y por t^2, x por 2t+1 e z por 1/t, e simplificando, chega-se a:
Agrupando os termos, simplifica-se para a forma final abaixo.
Resposta
-2t(3t+1)\sin\bigl((2t+1)t^2\bigr) + e^t