Utilizando a regra da cadeia, calcule as derivadas parciais indicadas para cada uma das funções dadas:
w=cos (x y)+e^y z onde lx=2 t+1 y=t^2 z=1t, , d wd t

Passo 1

Temos a função composta
w(x,y,z)=cos(xy)+e^{yz}
com x=2t+1, y=t^2, z=1/t. O conteúdo é a regra da cadeia para derivada de função de várias variáveis composta com funções de uma variável.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de w em relação a x, y e z. Da definição de derivada parcial e usando a derivada de cos(u) e e^u, temos:
partial wpartial x = -ysin(xy),
partial wpartial y = -xsin(xy) + z,e^yz,
partial wpartial z = y,e^yz

Passo 3

Agora derivamos x, y e z em relação a t:
dxdt = 2, dydt = 2t, dzdt = -1t^2

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
dwdt = partial wpartial xdxdt + partial wpartial ydydt + partial wpartial zdzdt
Substituindo as parciais e as derivadas de x,y,z, além de x=2t+1, y=t^2, z=1/t, obtemos:
dwdt = (-ysin(xy))cdot2 + l(-xsin(xy)+z e^yzr)cdot2t + (y e^yz)cdotl(-tfrac1t^2r)
Em seguida, trocando y por t^2, x por 2t+1 e z por 1/t, e simplificando, chega-se a:
dwdt = -2t^2sinl((2t+1)t^2r) -2t(2t+1)sinl((2t+1)t^2r) +2e^t - e^t
Agrupando os termos, simplifica-se para a forma final abaixo.

Resposta

-2t(3t+1)\sin\bigl((2t+1)t^2\bigr) + e^t

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