Determine e esboce o domínio das funções, obtendo o domínio e a imagem.
Passo 1
O exercício pede pra gente encontrar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
F(x,y)=cos(xy) e ainda esboçar o domínio no plano. O tema aqui é funções de várias variáveis e vamos usar o fato de que o cosseno está definido para todo número real e que seu valor sempre fica entre –1 e 1.
F(x,y)=cos(xy) e ainda esboçar o domínio no plano. O tema aqui é funções de várias variáveis e vamos usar o fato de que o cosseno está definido para todo número real e que seu valor sempre fica entre –1 e 1.
Passo 2
Pra determinar o domínio, a gente observa que a função cos(·) aceita qualquer argumento real. Como o produto xy é um real para quaisquer x e y reais, não há restrição: todo par (x,y)∈ℝ² serve. Logo o domínio é o plano inteiro.
Passo 3
Para achar a imagem (o conjunto de valores que F pode assumir), basta lembrar a propriedade clássica do cosseno:
para todo t real. Aqui t=xy varre todos os reais, mas o cosseno de qualquer real sempre fica em [–1,1].
Passo 4
Para esboçar o domínio, basta desenhar o plano cartesiano (eixo x horizontal, eixo y vertical) e sombrear toda a região, pois todo ponto do plano é válido.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.