Para cada uma das funções, determine as derivadas parciais indi cadas:
z=x^2 sen(y)+y^2 sen(x), partial^2 zpartial y^2, partial^2 zpartial x partial y

Passo 1

A função dada é z = x^2sen(y) + y^2sen(x). O conteúdo aqui é derivadas parciais de segunda ordem, vamos precisar lembrar que para derivada parcial em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes e aplicar a diferenciacao do seno e do produto de funções.

Passo 2

Primeiro a gente calcula a derivada parcial de z em relação a y. Tratando x como constante temos: a derivada de x^2sen(y) em relação a y é x^2cos(y) e a de y^2sen(x) em relação a y é 2ysen(x). Logo,
partial zpartial y = x^2cos(y) + 2ysen(x)

Passo 3

Agora derivamos partial zpartial y em relação a y para obter partial^2zpartial y^2. A derivada de x^2cos(y) em y é -x^2sen(y) e a de 2ysen(x) em y é 2sen(x). Assim,
partial^2zpartial y^2 = -x^2sen(y) + 2sen(x)

Passo 4

Para o derivada mista partial^2zpartial xpartial y, derivamos partial zpartial y em relação a x. A derivada de x^2cos(y) em x é 2xcos(y) e a de 2ysen(x) em x é 2ycos(x). Portanto,
partial^2zpartial xpartial y = 2xcos(y) + 2ycos(x)

Resposta

partial^2zpartial y^2 = -x^2sen(y) + 2sen(x)
partial^2zpartial x partial y = 2xcos(y) + 2ycos(x)

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