a) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
Passo 1
A equação diferencial é uma EDO linear de segunda ordem de coeficientes constantes, com termo não-homogêneo polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular. Você vai precisar conhecer a ideia de supor uma solução do mesmo tipo do forçamento e então ajustar os coeficientes.
Passo 2
Como o termo à direita é o polinômio de grau 2
4x²−3
, supomos uma solução particular do mesmo grau: y_p(x) = Ax² + Bx + C. Não há conflito com a solução da homogênea (que é exponencial), então esse palpite vale.Passo 3
Calculamos as derivadas de y_p para depois substituir na equação: y_p’(x) = 2Ax + B e y_p’’(x) = 2A.
Passo 4
Substituímos na EDO y’’ + 2y’ + y = 4x² - 3:
Agrupando termos semelhantes obtemos:
Passo 5
Igualamos coeficiente a coeficiente para x², x e termo constante: A = 4; 4A + B = 0; 2A + 2B + C = -3.
Passo 6
Resolvendo essa sisteminha: de A = 4 segue B = -16; inserindo em 2·4 + 2·(−16) + C = −3 dá C = 21. Portanto, a solução particular é y_p(x) = 4x² − 16x + 21.
Resposta
y_{p}(x)=4x^{2}-16x+21