a) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
y^prime prime+2 y^prime+y=4 x^2-3

Passo 1

A equação diferencial é uma EDO linear de segunda ordem de coeficientes constantes, com termo não-homogêneo polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular. Você vai precisar conhecer a ideia de supor uma solução do mesmo tipo do forçamento e então ajustar os coeficientes.

Passo 2

Como o termo à direita é o polinômio de grau 2 4x²−3, supomos uma solução particular do mesmo grau: y_p(x) = Ax² + Bx + C. Não há conflito com a solução da homogênea (que é exponencial), então esse palpite vale.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p para depois substituir na equação: y_p’(x) = 2Ax + B e y_p’’(x) = 2A.

Passo 4

Substituímos na EDO y’’ + 2y’ + y = 4x² - 3:
yp'' + 2yp' + yp = 2A + 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) = 4x^2 - 3
Agrupando termos semelhantes obtemos:
Ax^2 + (4A + B)x + (2A + 2B + C) = 4x^2 - 3

Passo 5

Igualamos coeficiente a coeficiente para x², x e termo constante: A = 4; 4A + B = 0; 2A + 2B + C = -3.

Passo 6

Resolvendo essa sisteminha: de A = 4 segue B = -16; inserindo em 2·4 + 2·(−16) + C = −3 dá C = 21. Portanto, a solução particular é y_p(x) = 4x² − 16x + 21.

Resposta

y_{p}(x)=4x^{2}-16x+21

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