Um SLIT possui resposta em frequência dada por:
H(j omega)=4+j omega6+5 j omega+(j omega)^2
© Qual a saída y(t) desse sistema se a entrada for
x(t)=e^-2 t u(t)

Passo 1

O enunciado dá a resposta em frequência de um SLIT: H(jomega)=4+jomega6+5jomega+(jomega)^2 e a entrada x(t)=e^-2tu(t). Precisamos achar a saída y(t) usando transformada de Laplace e frações parciais.

Passo 2

Para usar Laplace, identificamos o sistema em s:
H(s)=4+ss^2+5s+6
porque substituímos jomega por s.

Passo 3

Calculamos a transformada de Laplace da entrada:
X(s)=Le^-2tu(t)=1s+2

Passo 4

O produto no domínio de s é
Y(s)=H(s),X(s)=s+4(s^2+5s+6)(s+2)
é útil fatorar o quadrático do denominador:
s^2+5s+6=(s+2)(s+3)
Logo,
Y(s)=s+4(s+2)^2(s+3)

Passo 5

Agora fazemos frações parciais:
s+4(s+2)^2(s+3)=As+2+B(s+2)^2+Cs+3
Multiplicando tudo por (s+2)^2(s+3) e comparando coeficientes achamos:
A=-1, B=2, C=1

Passo 6

Portanto
Y(s)=-1s+2+2(s+2)^2+1s+3
Fazendo transformada inversa de Laplace:
  • L^-11/(s+2)=e^-2tu(t)
  • L^-11/(s+2)^2=t,e^-2tu(t)
  • L^-11/(s+3)=e^-3tu(t)
    Então juntando:

Passo 7

y(t)=\bigl(-e{-2t}+2t,e{-2t}+e^{-3t}\bigr)u(t)

Resposta

y(t)=\bigl(-e{-2t}+2t,e{-2t}+e^{-3t}\bigr)u(t)

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