Usando mudanças de variáveis, calcule as integrais. , onde é o triângulo de vértices e . Use a mudança de variáveis e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve uma mudança de variável. A questão pede para calcular , onde é o triângulo com vértices em , e . O conteúdo principal aqui é a integração por mudança de variáveis. Vamos precisar aplicar a fórmula da mudança de coordenadas e calcular o jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as novas variáveis que vamos usar:
Essas substituições vão simplificar a nossa integral.
Passo 3
Agora, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 4
Precisamos calcular o jacobiano da transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = -12, partial xpartial v = 12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
Então:
J = (-12) (12) - (12) (12) = -14 - 14 = -12
O valor absoluto do jacobiano é .
Passo 5
Agora vamos determinar os novos limites de integração em termos de u = 0 - 0 = 0, v = 1 + 0 + 0 = 1 e u = 0 - 1 = -1, v = 1 + 0 + 1 = 2 . O triângulo u = 1 - 0 = 1, v = 1 + 1 + 0 = 2 tem vértices em , e .
Para :
Para :
Para :
Então, varia de 1 a 2, e para cada , varia de a .
Passo 6
Vamos reescrever a integral original com as novas variáveis:
integral duplaD raiz[3]uv cdot |12| , du , dv = 12 integralv=1^2 integralu=-(v-1)^v-1 raiz[3]uv , du , dv
Simplificamos a expressão:
Passo 7
Observamos que a função integral-(v-1)^v-1 raiz[3]u , du = 0 é ímpar, ou seja, . Assim, ao integrar de a , a integral interna se cancela:
Portanto, toda a integral dupla será igual a zero.