Usando mudanças de variáveis, calcule as integrais. integral duplaD raiz[3]y-x1+y+x d x d y, onde D é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1). Use a mudança de variáveis u=y-x e v=1+y+x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve uma mudança de variável. A questão pede para calcular , onde é o triângulo com vértices em , e . O conteúdo principal aqui é a integração por mudança de variáveis. Vamos precisar aplicar a fórmula da mudança de coordenadas e calcular o jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as novas variáveis que vamos usar:
u = y - x e v = 1 + y + x
Essas substituições vão simplificar a nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos expressar u = y - x v = 1 + y + x e u + v = 1 + 2y Rightarrow y = u + v - 12 em termos de v - u = 1 + 2x Rightarrow x = v - u - 12 e . Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Passo 4

Precisamos calcular o jacobiano da transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas:
partial xpartial u = -12, partial xpartial v = 12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
Então:
J = (-12) (12) - (12) (12) = -14 - 14 = -12
O valor absoluto do jacobiano é .

Passo 5

Agora vamos determinar os novos limites de integração em termos de u = 0 - 0 = 0, v = 1 + 0 + 0 = 1 e u = 0 - 1 = -1, v = 1 + 0 + 1 = 2 . O triângulo u = 1 - 0 = 1, v = 1 + 1 + 0 = 2 tem vértices em , e .
Para :
Para :
Para :
Então, varia de 1 a 2, e para cada , varia de a .

Passo 6

Vamos reescrever a integral original com as novas variáveis:
integral duplaD raiz[3]uv cdot |12| , du , dv = 12 integralv=1^2 integralu=-(v-1)^v-1 raiz[3]uv , du , dv
Simplificamos a expressão:

Passo 7

Observamos que a função integral-(v-1)^v-1 raiz[3]u , du = 0 é ímpar, ou seja, . Assim, ao integrar de a , a integral interna se cancela:
Portanto, toda a integral dupla será igual a zero.

Resposta

A integral dupla vale .

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