Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido S dado.
(e) S é delimitado pelo parabolóide z = 9 - x^2 - y^2 e pelo plano z = 5.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que está limitado pelo parabolóide e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis quando a região de integração tem simetria circular. Vamos precisar converter as equações para coordenadas polares e configurar uma integral dupla para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do parabolóide:
Portanto, a equação do parabolóide em coordenadas polares fica:
E o plano continua sendo .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites de e . Isso acontece onde as duas superfícies se interceptam, ou seja, onde :
Então, varia de a , e varia de a para cobrir toda a circunferência.

Passo 4

O volume pode ser calculado pela integral dupla da diferença das duas funções de sobre a região em coordenadas polares:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Calculando nos limites:
Agora, a integral externa em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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