Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
(e) é delimitado pelo parabolóide e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que está limitado pelo parabolóide e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são muito úteis quando a região de integração tem simetria circular. Vamos precisar converter as equações para coordenadas polares e configurar uma integral dupla para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do parabolóide:
Portanto, a equação do parabolóide em coordenadas polares fica:
E o plano continua sendo .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os limites de e . Isso acontece onde as duas superfícies se interceptam, ou seja, onde :
Então, varia de a , e varia de a para cobrir toda a circunferência.
Passo 4
O volume pode ser calculado pela integral dupla da diferença das duas funções de sobre a região em coordenadas polares:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :