Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema. Precisamos determinar se a integral imprópria com limites de integração infinitos
converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias com limites infinitos.
Passo 2
Primeiro, transformamos a integral imprópria em uma integral com limites finitos substituindo o limite inferior por uma variável $ a $ que tende a menos infinito:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função $ \frac{1}{5 - 2x} $. Para isso, usamos a regra de integração para funções do tipo $ \frac{1}{ax + b} $:
Passo 4
Em seguida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração $ a $ e $ 2 $:
Simplificando:
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando $ a $ tende a menos infinito:
À medida que $ a $ tende a menos infinito, $ 5 - 2a $ tende a mais infinito. Portanto, $ \ln|5 - 2a| $ também tende a mais infinito, e:
Como o limite é infinito, a integral não converge.
Resposta
A integral diverge.