Determine se as integrais impróprias com limites de integração infinitos convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
integral-infty^2 15-2 x d x

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema. Precisamos determinar se a integral imprópria com limites de integração infinitos
integral-infty^2 15 - 2x , dx
converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias com limites infinitos.

Passo 2

Primeiro, transformamos a integral imprópria em uma integral com limites finitos substituindo o limite inferior por uma variável $ a $ que tende a menos infinito:
a

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função $ \frac{1}{5 - 2x} $. Para isso, usamos a regra de integração para funções do tipo $ \frac{1}{ax + b} $:
15 - 2x

Passo 4

Em seguida, avaliamos a antiderivada nos limites de integração $ a $ e $ 2 $:
a
Simplificando:
2
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
[ -12 ln|5 - 2x| ]a^2 = -12 ln|5 - 2 times 2| + 12 ln|5 - 2a|

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando $ a $ tende a menos infinito:
a
À medida que $ a $ tende a menos infinito, $ 5 - 2a $ tende a mais infinito. Portanto, $ \ln|5 - 2a| $ também tende a mais infinito, e:
lima to -infty 12 ln|5 - 2a|
Como o limite é infinito, a integral não converge.

Resposta

A integral diverge.

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