Determine lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x), esboce o gráfico e identifique as assíntotas verticais e horizontais.
f(x)=8(2 x+5)^5, a=-5 / 2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=8(2x+5)^5
no ponto a=-tfrac52 e também nas extremidades do domínio. Vamos:
  1. Calcular os limites laterais limxto a^+f(x) e limxto a^-f(x).
  2. Identificar a assíntota vertical.
  3. Estudar limxtopminftyf(x) e identificar a assíntota horizontal.
  4. Esboçar qualitativamente o gráfico, mostrando sinais e comportamentos.

Passo 2

Para xto a=-tfrac52 temos 2x+5to0.
  • Se xto a^+ então 2x+5 é pequeno e positivo; elevando ao quinto dá um número positivo muito pequeno, logo
limxto a^+f(x)=limxto-tfrac52^+8(2x+5)^5=+infty
  • Se xto a^- então 2x+5 é pequeno e negativo; ao quinto (expoente ímpar) fica negativo e pequeno, logo
limxto a^-f(x)=limxto-tfrac52^-8(2x+5)^5=-infty
Portanto x=-tfrac52 é assíntota vertical.

Passo 3

Para achar assíntota horizontal, estudamos limxtopminftyf(x). Como o denominador cresce em módulo como lvert2x+5rvert^5simlvert xrvert^5, fica
limxto+inftyf(x)=0^+, limxto-inftyf(x)=0^-
Assim y=0 é assíntota horizontal (o sinal muda porque o expoente é ímpar).

Passo 4

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Para x<-2,5, 2x+5<0 e (2x+5)^5<0, logo f(x)<0. Ao aproximar de -2,5 pela esquerda, f(x)to-infty. Ao ir para -infty, f(x)to0 por baixo.
  • Para x>-2,5, 2x+5>0 e (2x+5)^5>0, logo f(x)>0. Ao aproximar de -2,5 pela direita, f(x)to+infty. Ao ir para +infty, f(x)to0 por cima.
    O gráfico tem um ramo negativo à esquerda do eixo x=-2,5 e um ramo positivo à direita, ambos tendendo a y=0 nos extremos.

Resposta

limxto(-tfrac52)^+f(x)=+infty
limxto(-tfrac52)^-f(x)=-infty
Assíntota vertical: x=-tfrac52
limxtopminftyf(x)=0, assíntota horizontal y=0

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