Determine
, esboce o gráfico e identifique as assíntotas verticais e horizontais.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
no ponto
e também nas extremidades do domínio. Vamos:
- Calcular os limites laterais
e . - Identificar a assíntota vertical.
- Estudar
e identificar a assíntota horizontal. - Esboçar qualitativamente o gráfico, mostrando sinais e comportamentos.
Passo 2
Para
temos
.
- Se
então é pequeno e positivo; elevando ao quinto dá um número positivo muito pequeno, logo
- Se
então é pequeno e negativo; ao quinto (expoente ímpar) fica negativo e pequeno, logo
Portanto
é assíntota vertical.
Passo 3
Para achar assíntota horizontal, estudamos
. Como o denominador cresce em módulo como
, fica
Assim
é assíntota horizontal (o sinal muda porque o expoente é ímpar).
Passo 4
Esboço qualitativo do gráfico:
- Para
, e , logo . Ao aproximar de pela esquerda, . Ao ir para , por baixo. - Para
, e , logo . Ao aproximar de pela direita, . Ao ir para , por cima.
O gráfico tem um ramo negativo à esquerda do eixoe um ramo positivo à direita, ambos tendendo a nos extremos.
Resposta
Assíntota vertical: