Para cada uma das funções
abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar os extremos locais (máximos e mínimos relativos) e os intervalos de crescimento e decrescimento. O que precisamos: domínio de
, derivada
, pontos críticos (zeros de
e pontos onde
é indefinida) e, por fim, analisar o sinal de
em cada intervalo do domínio.
Passo 2
Encontramos o domínio de
. O denominador
anula-se para
, isto é,
, e a raiz cúbica de zero é zero, portanto
não está definida em
. Assim,
Passo 3
Calculamos a derivada usando a forma
. Fazendo a regra do produto e da cadeia, chega-se a
Passo 4
Os pontos críticos vêm de
e de onde
é indefinida (além de
, já excluídos do domínio).
.
.
indefinida em
, que já não pertencem ao domínio.
Logo, os pontos críticos na Dom( ) são
e
.
Logo, os pontos críticos na Dom(
Passo 5
Analisamos o sinal de
. Note que
para todo
, então o sinal de
é dado pelo sinal de
:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Levando em conta os pontos de descontinuidade em
, temos os seguintes intervalos:
Em resumo:
-
em e em é crescente nesses intervalos. -
em , em e em é decrescente nesses intervalos.
Passo 6
Classificamos os pontos críticos:
- Em
, há troca de de positiva para negativa máximo relativo. - Em
, há troca de de negativa para positiva mínimo relativo.
Calculamos os valores denesses pontos:
Resposta
Extremos locais:
máximo relativo em com
.
mínimo relativo em com
.
máximo relativo em
mínimo relativo em
Monotonicidade:
cresce em e em
;
decresce em , em
e em
.
cresce em
decresce em