Para cada uma das funções f abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
f(x)=x(x^2-4)^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x(x^2-4)^1/3
determinar os extremos locais (máximos e mínimos relativos) e os intervalos de crescimento e decrescimento. O que precisamos: domínio de f, derivada f'(x), pontos críticos (zeros de f' e pontos onde f' é indefinida) e, por fim, analisar o sinal de f' em cada intervalo do domínio.

Passo 2

Encontramos o domínio de f. O denominador (x^2-4)^1/3 anula-se para x^2-4=0, isto é, x=pm2, e a raiz cúbica de zero é zero, portanto f não está definida em x=pm2. Assim,
Dom(f)=(-infty,-2),cup,(-2,2),cup,(2,infty)

Passo 3

Calculamos a derivada usando a forma f(x)=x,(x^2-4)^-1/3. Fazendo a regra do produto e da cadeia, chega-se a
f'(x) =x^2-123,(x^2-4)^4/3

Passo 4

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 e de onde f' é indefinida (além de x=pm2, já excluídos do domínio).
1. f'(x)=0 Rightarrow x^2-12=0 Rightarrow x=pm2raiz3 2. f' indefinida em x=pm2, que já não pertencem ao domínio.
Logo, os pontos críticos na Dom( f) são x=-2raiz3 e x=2raiz3.

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x). Note que (x^2-4)^4/3>0 para todo xneqpm2, então o sinal de f' é dado pelo sinal de x^2-12:
  • Se lvert xrvert>2raiz3, então x^2-12>0 e f'(x)>0.
  • Se lvert xrvert<2raiz3, então x^2-12<0 e f'(x)<0.
Levando em conta os pontos de descontinuidade em pm2, temos os seguintes intervalos:
(-infty,-2raiz3),;(-2raiz3,-2),;(-2,2),;(2,2raiz3),;(2raiz3,infty)
Em resumo:
  • f'(x)>0 em (-infty,-2raiz3) e em (2raiz3,infty) to f é crescente nesses intervalos.
  • f'(x)<0 em ( -2raiz3,-2), em (-2,2) e em (2,2raiz3) to f é decrescente nesses intervalos.

Passo 6

Classificamos os pontos críticos:
  • Em x=-2raiz3, há troca de f' de positiva para negativa to máximo relativo.
  • Em x=2raiz3, há troca de f' de negativa para positiva to mínimo relativo.
    Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(pm2raiz3) =pm2raiz3l((2raiz3)^2-4r)^1/3 =pm2raiz3(12-4)^1/3 =pm2raiz32 =pmraiz3

Resposta

Extremos locais:
máximo relativo em x=-2raiz3 com f(-2raiz3)=-raiz3.
mínimo relativo em x=2raiz3 com f(2raiz3)=raiz3.
Monotonicidade:
cresce em (-infty,-2raiz3) e em (2raiz3,infty);
decresce em ( -2raiz3,-2), em (-2,2) e em (2,2raiz3).

Exercícios relacionados