Mostre que a equação y+x d yd x=1y é separável. Resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A equação que temos é y + x dydx = 1y . Ela envolve derivadas e funções, então estamos lidando com uma equação diferencial. O objetivo é mostrar que essa equação é separável e depois resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, o que significa uma equação ser separável? É quando conseguimos escrever a equação de uma forma onde todas as y estão de um lado e todas as x estão do outro. Isso facilita muito a integração, que é o passo seguinte para resolver a equação.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para tentar separar as variáveis. A equação original é:
y + x dydx = 1y
Vamos isolar o termo com a derivada:
x dydx = 1y - y

Passo 4

Simplificando o lado direito:
x dydx = 1 - y^2y
Agora, vamos dividir ambos os lados por x e multiplicar por dx para separar as variáveis:
dydx = 1 - y^2x y
y dy1 - y^2 = dxx

Passo 5

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral fica:
integral y1 - y^2 dy = integral 1x dx

Passo 6

Resolvendo as integrais:
Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição u = 1 - y^2 , então du = -2y dy , ou seja, -12 du = y dy . Assim:
-12 integral 1u du = integral 1x dx
-12 ln|u| = ln|x| + C
Substituindo u = 1 - y^2 de volta:
-12 ln|1 - y^2| = ln|x| + C

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por -2:
ln|1 - y^2| = -2 ln|x| + K
onde K = -2C (é só uma constante qualquer).

Passo 8

Reescrevendo usando propriedades dos logaritmos:
ln|1 - y^2| = ln|x^-2| + K
Podemos combinar as constantes:
ln|1 - y^2| = ln(Ax^2)
onde A = e^K é uma nova constante.

Passo 9

Igualando os argumentos dos logaritmos:
1 - y^2 = Ax^2
y^2 = 1 - Ax^2
y = pm raiz1 - Ax^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = pm raiz1 - Ax^2
onde A é uma constante real.

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