Mostre que a equação
é separável. Resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A equação que temos é
. Ela envolve derivadas e funções, então estamos lidando com uma equação diferencial. O objetivo é mostrar que essa equação é separável e depois resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, o que significa uma equação ser separável? É quando conseguimos escrever a equação de uma forma onde todas as
estão de um lado e todas as
estão do outro. Isso facilita muito a integração, que é o passo seguinte para resolver a equação.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para tentar separar as variáveis. A equação original é:
Vamos isolar o termo com a derivada:
Passo 4
Simplificando o lado direito:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para separar as variáveis:
Passo 5
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral fica:
Passo 6
Resolvendo as integrais:
Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição , então
, ou seja,
. Assim:
Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição
Substituindo
de volta:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Multiplicando ambos os lados por -2:
onde
(é só uma constante qualquer).
Passo 8
Reescrevendo usando propriedades dos logaritmos:
Podemos combinar as constantes:
onde
é uma nova constante.
Passo 9
Igualando os argumentos dos logaritmos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.