Mostre que os limites abaixo não existem.
lim (x, y) (0,0) x y3 x^2+2 y^2

Passo 1

O exercício pede para mostrar que o limite de f(x,y)=xy3x^2+2y^2 quando (x,y)to(0,0) não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, para provar não existência, basta encontrar duas trajetórias que levem a valores diferentes.

Passo 2

Aprendendo que, se o limite existisse, deveria ser o mesmo em todas as curvas de aproximação, a gente escolhe a reta y=kx, com k constante, e substitui em f(x,y).

Passo 3

Substituindo y=kx em f(x,y), temos
x,(k x)3x^2+2(kx)^2=kx^2x^2(3+2k^2)=k3+2k^2
Esse valor é independente de x, só depende de k.

Passo 4

Para diferentes k obtemos limites diferentes. Por exemplo, com k=0 dá 0 e com k=1 1/5. Como os resultados são distintos, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados