Determine e esboce os pontos de interseção da elipse x^24+y^29=1 e a hipérbole 3 x^24-y^29=1

Passo 1

O enunciado pede os pontos em que a elipse
x^24 + y^29 = 1
e a hipérbole
3x^24 - y^29 = 1
se interceptam. O conteúdo usado é a solução de um sistema de equações de segundo grau por combinação (adição/subtração) para eliminar uma das incógnitas.

Passo 2

Escrevemos o sistema:
x^24 + y^29 = 1,[6pt] 3x^24 - y^29 = 1
Somando membro a membro, o termo tfracy^29 cancela:
x^24 + 3x^24 = 1 + 1 ;Longrightarrow; x^2 = 2 ]

Passo 3

Da igualdade x^2=2 obtemos
x = pm raiz2

Passo 4

Substituímos x^2=2 na equação da elipse para achar y:
24 + y^29 = 1 ;Longrightarrow; 12 + y^29 = 1 ;Longrightarrow; y^29 = tfrac12 ;Longrightarrow; y^2 = 92 ;Longrightarrow; y = pm 3raiz22

Passo 5

Portanto há quatro pontos de interseção, combinando os sinais de x e y:
l(raiz2,,tfrac3raiz22r), l(raiz2,,-tfrac3raiz22r), l(-raiz2,,tfrac3raiz22r), l(-raiz2,,-tfrac3raiz22r)

Passo 6

Para esboçar, trace um sistema de eixos xy. Desenhe a elipse centrada na origem com semi-eixos a=2 (eixo x) e b=3 (eixo y). Em seguida, desenhe a hipérbole tfrac3x^24-tfracy^29=1, cujos ramos se abrem para a esquerda e para a direita, com vértices em l(pmraiz4/3,0r) e assíntotas y=pmtfrac32,x. Marque os quatro pontos calculados acima; eles caem simetricamente em cada quadrante.

Resposta

l(pm raiz2,,pm tfrac3raiz22r)

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