U & =(x, y, z, t) in R^4: x-y=0 e z-y+t=0 W & =(x, y, z, t) in R^4: x-y-z-t=0
subespaços do R^4. Determine a dimensão e uma base para U e W.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^4 dados por condições lineares nos componentes:
U=(x,y,z,t)inR^4mid x-y=0 e z-y+t=0
W=(x,y,z,t)inR^4mid x-y-z-t=0
Queremos determinar, para cada subespaço, sua dimensão e uma base. Para isso, vamos parametrizar as soluções dos sistemas lineares e extrair vetores independentes.

Passo 2

Analisando
Da primeira equação segue . Logo um vetor genérico em pode ser escrito como
Os parâmetros livres são e , e os vetores e são independentes. Portanto
e uma base de é

Passo 3

Para W, a condição é
x-y-z-t=0,
ou seja x=y+z+t. Assim um vetor genérico em W é
(x,y,z,t) = (y+z+t,,y,,z,,t) = y,(1,1,0,0) ;+; z,(1,0,1,0) ;+; t,(1,0,0,1)
Os parâmetros livres são y,z,t, e os vetores (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1) são independentes. Logo
dim(W)=3,
e uma base de W é
(1,1,0,0),,(1,0,1,0),,(1,0,0,1)

Resposta

Para U: dim(U)=2, base (1,1,1,0),,(0,0,-1,1).
Para W: dim(W)=3, base (1,1,0,0),,(1,0,1,0),,(1,0,0,1).

Exercícios relacionados