Esboce a região interior à circunferência x^2+y^2=9, exterior à circunferência x^2+y^2=4, e acima da reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região que satisfaz simultaneamente
– estar dentro da circunferência x^2+y^2=9 (raio 3),
– estar fora da circunferência x^2+y^2=4 (raio 2),
– e estar no meio-plano acima da reta y=x.
O conteúdo é geometria analítica no plano e coordenadas polares servem bem para caracterizar essa região.

Passo 2

A condição “dentro de x^2+y^2=9” significa
x^2+y^2<= 9,
que em coordenadas polares é r<= 3.
A condição “fora de x^2+y^2=4” significa
x^2+y^2>= 4,
ou seja r>= 2.
Juntas elas definem um anel circular
2<= r<= 3

Passo 3

A reta y=x no plano é o conjunto de pontos com ângulo polar theta=tfracpi4 ou theta=tfrac5pi4. O meio-plano “acima de y=x” é
y>= x,
isto é, em coordenadas polares a região em que o ângulo theta varia de
theta=pi4 até theta=5pi4, é
porque esse intervalo de 180^circ cobre todo o lado onde y>= x.

Passo 4

Unindo as duas descrições em polares, a região buscada é o setor anelar
2;<=;r;<=;3, pi4;<=;theta;<=;5pi4
No esboço, basta traçar as circunferências de raio 2 e raio 3, a reta y=x passando pela origem em 45^circ, e sombrear o anel que fica “acima” dessa reta.

Resposta

A região é o setor anelar entre as circunferências de raios 2 e 3 contido no meio-plano y>= x. Em coordenadas polares:
2<= r<= 3, pi4<= theta<= 5pi4
No esboço, desenhe dois círculos concêntricos (raios 2 e 3), trace a reta y=x e pinte o anel que fica acima dela.

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