Esboce a região do plano delimitada pelas parábolas y=x^2 e x=y^2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos a região do plano delimitada pelas parábolas ,y=x^2 e ,x=y^2. O conteúdo aqui é geometria do plano: vamos achar onde elas se cruzam e ver qual delas fica “por cima” da outra para depois desenhar a área entre elas.

Passo 2

Para encontrar as interseções, resolvemos o sistema
y = x^2, x = y^2
Substituindo y=x^2 na segunda, vem
x = (x^2)^2 = x^4 Longrightarrow x^4 - x = 0 Longrightarrow x(x^3 - 1) = 0
Logo x=0 ou x=1. Então y=0^2=0 ou y=1^2=1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para ver qual curva fica acima, note que a equação x=y^2 para y>=0 pode ser escrita como y=raizx. No intervalo 0<= x<=1 comparamos
y1 = x^2 e y2 = raizx
Verificamos x^2 <= raizx pois isso equivale a x^4 <= x, o que vale para 0<= x<=1. Logo, no trecho entre (0,0) e (1,1) a parábola y=x^2 está abaixo de y=raizx.

Passo 4

Para o esboço:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a parábola y=x^2 (abre para cima) passando por (0,0) e (1,1).
  3. Trace o ramo positivo de x=y^2, isto é y=raizx, que também passa por (0,0) e (1,1).
  4. A região procurada é a “lente” formada entre esses dois arcos, para 0<= x<=1, limitada abaixo por y=x^2 e acima por y=raizx.

Resposta

A região é o conjunto dos pontos (x,y) tais que
0 <= x <= 1, x^2 <= y <= raizx,
isto é, a lente no primeiro quadrante entre as curvas y=x^2 e x=y^2.

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