Calcule o volume da região delimitada superiormente pela superfície z=2 \operatorname{sen} x \cos x e inferiormente pelo retângulo [0, \pi / 2] \times[0, \pi / 4].

Passo 1

O enunciado pede o volume da região situada sob a superfície
z = 2\sin x\cos x
e acima do retângulo no plano xy dado por
0 \le x \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le y \le \frac{\pi}{4}.
Para resolver, vamos usar integral dupla de primeira espécie, só que como a função não depende de y, a conta fica mais simples.

Passo 2

Escrevemos o volume V como
V = \iint_{D} 2\sin x\cos x \,dA = \int_{x=0}^{\pi/2}\!\int_{y=0}^{\pi/4}2\sin x\cos x\,dy\,dx.

Passo 3

Como 2\sin x\cos x independe de y, a integral interna em y dá um fator de comprimento \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}2\sin x\cos x\,dy =2\sin x\cos x\;\int_{0}^{\pi/4}1\,dy =2\sin x\cos x\;\frac{\pi}{4}.
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V = \frac{\pi}{4}\int_{0}^{\pi/2}2\sin x\cos x\,dx.

Passo 4

Reconhecemos a identidade trigonométrica 2\sin x\cos x = \sin(2x). Assim,
\int_{0}^{\pi/2}2\sin x\cos x\,dx =\int_{0}^{\pi/2}\sin(2x)\,dx =\Bigl[-\tfrac12\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/2} =1.

Resposta

V = \frac{\pi}{4}.

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