Determine e esboce os seguintes conjuntos de níveis:
para os níveis 0,1 e 2 .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar e esboçar os conjuntos de nível para os níveis
,
e
. Informações relevantes entregues pelo enunciado:
- A função é o logaritmo natural de
, portanto o argumento do logaritmo precisa ser positivo. - Os níveis solicitados são exatamente
, e .
Não vou resolver ainda; apenas registrei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Definição e procedimento geral para conjuntos de nível. Um conjunto de nível de
para um valor
é o conjunto de pontos
tais que
Aqui, para um nível genérico
resolvemos
Aplicando exponencial (a função inversa do
) obtemos
Isolando,
É conveniente chamar o lado direito de constante:
Observação importante sobre domínio: como
para todo
, temos
. Isso é consistente com a condição necessária para o argumento do
, que exige
. Logo cada conjunto de nível é a curva dada por
com
.
Passo 3
Caracterização geométrica das curvas
. Reescrevendo:
Esse é o padrão da hipérbole retangular (ramificações simétricas), com assimptotas nos eixos
e
. Como
, a hipérbole tem duas ramificações: uma no primeiro quadrante (
) e outra no terceiro quadrante (
). Para parâmetrizar convenientemente, podemos tomar
e
; para
percorremos a ramificação em
e para
a ramificação em
.
Passo 4
Conjunto de nível para
. Calculamos
Portanto o conjunto de nível é a hipérbole
ou seja
Pontos de referência úteis para desenhar: intersecção com a reta
ocorre quando
, isto é
. Numericamente
. Assim a hipérbole passa por
e
.
Passo 5
Conjunto de nível para
. Calculamos
Assim a curva é
ou
Ponto de referência na reta
:
então
. Numericamente, com
, temos
e
. A ramificação em
passa por
.
Passo 6
Conjunto de nível para
. Calculamos
Logo
ou
Na reta
:
. Como
, temos
e
. A ramificação em
passa por
.
Passo 7
Como esboçar as três curvas no mesmo plano cartesiano (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . Marque os pontos aproximados , , para referência. - Desenhe as assimptotas: neste caso são os eixos
e . As hipérboles se aproximam desses eixos quando cresce muito. - Para cada nível
desenhe a hipérbole com as duas ramificações: uma no primeiro quadrante, outra no terceiro. Use os pontos de referência calculados para posicionar cada curva: - Para
: passa por . - Para
: passa por . - Para
: passa por .
- Para
- Observe que, quanto maior
, maior é , então a hipérbole fica “mais afastada” da origem (os pontos de interseção com a reta têm coordenadas maiores). Assim a ordem do centro para fora é: hipérbole de mais próxima da origem, depois , depois . - Lembre-se: nenhuma dessas curvas cruza os eixos
ou (pois ou não satisfaz ), e ambas as ramificações são permitidas porque (então produto positivo maior que pode ser obtido tanto com quanto com ).
Passo 8
Resumo conceitual rápido (para fixar): os conjuntos de nível de
são hipérboles do tipo
. Resolver uma equação de nível aqui é só desfazer o
passando ao exponencial e interpretar a curva resultante. Agora você consegue desenhar cada curva usando a forma
e alguns pontos de ancoragem.
Resposta
Nível
:
Nível :
Nível :
Nível
Nível