Determine e esboce os seguintes conjuntos de níveis:
f(x, y)=\ln (x y-1) para os níveis 0,1 e 2 .

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\ln(xy-1) e pede para determinar e esboçar os conjuntos de nível para os níveis 0, 1 e 2. Informações relevantes entregues pelo enunciado:
  • A função é o logaritmo natural de (xy-1), portanto o argumento do logaritmo precisa ser positivo.
  • Os níveis solicitados são exatamente c=0, c=1 e c=2.
    Não vou resolver ainda; apenas registrei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Definição e procedimento geral para conjuntos de nível. Um conjunto de nível de f para um valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
Aqui, para um nível genérico c resolvemos
\ln(xy-1)=c.
Aplicando exponencial (a função inversa do \ln) obtemos
xy-1 = e^{c}.
Isolando,
xy = 1 + e^{c}.
É conveniente chamar o lado direito de constante:
\text{defina } k\text{(c)}=1+e^{c}.
Observação importante sobre domínio: como e^{c}>0 para todo c, temos k\text{(c)}>1. Isso é consistente com a condição necessária para o argumento do \ln, que exige xy-1>0\Rightarrow xy>1. Logo cada conjunto de nível é a curva dada por
xy = k\text{(c)},
com k\text{(c)}>1.

Passo 3

Caracterização geométrica das curvas xy=k. Reescrevendo:
y=\frac{k}{x},\quad x\neq 0.
Esse é o padrão da hipérbole retangular (ramificações simétricas), com assimptotas nos eixos x=0 e y=0. Como k>0, a hipérbole tem duas ramificações: uma no primeiro quadrante ( x>0,y>0) e outra no terceiro quadrante ( x<0,y<0). Para parâmetrizar convenientemente, podemos tomar x=t e y=k/t; para t>0 percorremos a ramificação em Q1 e para t<0 a ramificação em Q3.

Passo 4

Conjunto de nível para c=0. Calculamos
k(0)=1+e^{0}=1+1=2.
Portanto o conjunto de nível é a hipérbole
xy=2,
ou seja
y=\frac{2}{x},\quad x\neq 0.
Pontos de referência úteis para desenhar: intersecção com a reta y=x ocorre quando x^{2}=2, isto é x=\pm\sqrt{2}. Numericamente \sqrt{2}\approx 1,414. Assim a hipérbole passa por (\sqrt{2},\sqrt{2}) e (-\sqrt{2},-\sqrt{2}).

Passo 5

Conjunto de nível para c=1. Calculamos
k(1)=1+e^{1}=1+e.
Assim a curva é
xy=1+e,
ou
y=\frac{1+e}{x},\quad x\neq 0.
Ponto de referência na reta y=x: x^{2}=1+e então x=\pm\sqrt{1+e}. Numericamente, com e\approx 2,718, temos 1+e\approx 3,718 e \sqrt{1+e}\approx 1,929. A ramificação em Q1 passa por (\sqrt{1+e},\sqrt{1+e}).

Passo 6

Conjunto de nível para c=2. Calculamos
k(2)=1+e^{2}.
Logo
xy=1+e^{2},
ou
y=\frac{1+e^{2}}{x},\quad x\neq 0.
Na reta y=x: x^{2}=1+e^{2}. Como e^{2}\approx 7,389, temos 1+e^{2}\approx 8,389 e \sqrt{1+e^{2}}\approx 2,897. A ramificação em Q1 passa por (\sqrt{1+e^{2}},\sqrt{1+e^{2}}).

Passo 7

Como esboçar as três curvas no mesmo plano cartesiano (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque os pontos aproximados (1,1), (2,2), (3,3) para referência.
  2. Desenhe as assimptotas: neste caso são os eixos x=0 e y=0. As hipérboles se aproximam desses eixos quando |x| cresce muito.
  3. Para cada nível c desenhe a hipérbole y=k\text{(c)}/x com as duas ramificações: uma no primeiro quadrante, outra no terceiro. Use os pontos de referência calculados para posicionar cada curva:
    • Para c=0: passa por (\sqrt{2}\approx 1,414,\;1,414).
    • Para c=1: passa por (\sqrt{1+e}\approx 1,929,\;1,929).
    • Para c=2: passa por (\sqrt{1+e^{2}}\approx 2,897,\;2,897).
  4. Observe que, quanto maior c, maior é k\text{(c)}=1+e^{c}, então a hipérbole fica “mais afastada” da origem (os pontos de interseção com a reta y=x têm coordenadas maiores). Assim a ordem do centro para fora é: hipérbole de c=0 mais próxima da origem, depois c=1, depois c=2.
  5. Lembre-se: nenhuma dessas curvas cruza os eixos x ou y (pois x=0 ou y=0 não satisfaz xy=k>0), e ambas as ramificações são permitidas porque k>1 (então produto positivo maior que 1 pode ser obtido tanto com x,y>0 quanto com x,y<0).

Passo 8

Resumo conceitual rápido (para fixar): os conjuntos de nível de \ln(xy-1) são hipérboles do tipo xy=\text{constante}>1. Resolver uma equação de nível aqui é só desfazer o \ln passando ao exponencial e interpretar a curva resultante. Agora você consegue desenhar cada curva usando a forma y=k/x e alguns pontos de ancoragem.

Resposta

Nível 0: \{(x,y)\mid xy=2\}
Nível 1: \{(x,y)\mid xy=1+e\}
Nível 2: \{(x,y)\mid xy=1+e^{2}\}

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