Questão 1: Sejam \int: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} funçōes tais que:
f(x, y)=3 x y^{2}-5 x+1 \text { e } g(t)=\left(m t-4 p, 2 t^{2}+5 p\right)
Sabendo que g(1)=(3,12), encontre f(g(2)).

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede para calcular o valor de f(g(2)). Informações fornecidas:
f(x,y)=3x y^{2}-5x+1
g(t)=\big(mt-4p,\;2t^{2}+5p\big)
Também é dada a condição
g(1)=(3,12).
O que precisamos encontrar: o número f(g(2)), ou seja, primeiro encontrar g(2) e depois avaliar f nesse par ordenado.

Passo 2

Usamos a informação g(1)=(3,12)\) para determinar \(m\) e \(p\). A imagem de \(t=1\) por \(g\) é \[g(1)=\big(m\cdot 1-4p,\;2\cdot 1^{2}+5p\big)=(m-4p,\;2+5p).
Igualando componente a componente com (3,12) obtemos o sistema
\begin{cases} m-4p=3,\\[4pt] 2+5p=12. \end{cases}
Agora resolvemos o sistema. Da segunda equação:
2+5p=12 \implies 5p=10 \implies p=2.
Substituindo (p=2] na primeira equação:
m-4\cdot 2=3 \implies m-8=3 \implies m=11.]

Passo 3

Com m=11 e p=2, calculamos g(2). Aplicando t=2 na expressão de g:
g(2)=\big(11\cdot 2-4\cdot 2,\;2\cdot 2^{2}+5\cdot 2\big).
Calculando cada componente separadamente:
11\cdot 2-4\cdot 2=22-8=14,
2\cdot 2^{2}+5\cdot 2=2\cdot 4+10=8+10=18.
Portanto
g(2)=(14,18).

Passo 4

Explicação conceitual rápida (para fixar): g(2) é um par (x,y). Para calcular f(g(2)) nós substituímos x=14 e y=18 na fórmula de f(x,y). Ou seja, composição f\circ g significa "pegar o resultado de g e usar como entrada de f".
Agora substituímos na expressão de f:
f(14,18)=3\cdot 14\cdot 18^{2}-5\cdot 14+1.
Calculamos passo a passo. Primeiro 18^{2}:
18^{2}=324.
Depois 14\cdot 324:
14\cdot 324=(10\cdot 324)+(4\cdot 324)=3240+1296=4536.
Agora 3\cdot 4536:
3\cdot 4536=13608.
Em seguida -5\cdot 14:
-5\cdot 14=-70.
Somando tudo e adicionando +1:
13608-70+1=13608-69=13539.

Passo 5

Resumo final do cálculo:
g(2)=(14,18),
f(g(2))=f(14,18)=13539.

Resposta

13539

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