Determine e esboce os seguintes conjuntos de níveis:
para os níveis 1,2 e 3 .
Passo 1
O enunciado dá a função
com a restrição
. Pede-se: para os níveis
,
e
, determinar (isto é, descrever matematicamente) os conjuntos de nível
e esboçá‑los. As informações relevantes são: a expressão de
e a condição de não negatividade das coordenadas.
Passo 2
Definição prática: o conjunto de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Aqui vamos substituir
e resolver a equação em termos de
. Para simplificar, denote
(a soma das coordenadas).
Passo 3
Escrevendo a equação do nível:
Como
(os níveis dados são
), podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem alterar soluções:
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
,
Logo
Observação sobre domínio: precisamos de
para a raiz estar definida; com a fórmula acima temos
, então está OK para todo
.
Passo 4
Interpretação geométrica: a equação
é um plano cuja normal é o vetor
. O conjunto de nível dentro do domínio
é a interseção desse plano com o primeiro octante, isto é, um triângulo plano cujos vértices ocorrem quando duas coordenadas são
. Assim, para um dado valor de
os vértices são
Passo 5
Agora aplicamos para cada nível.
Para
:
O conjunto de nível é o triângulo
com vértices
,
,
.
Passo 6
Para
:
O conjunto de nível é o triângulo
com vértices
,
,
.
Passo 7
Para
:
O conjunto de nível é o triângulo
com vértices
,
,
.
Passo 8
Comentários para esboço (como desenhar): todas as três superfícies são planos paralelos (mesma normal
), então os triângulos gerados são triângulos equiláteros (em 3D, cada aresta tem comprimento
) localizados ao longo da direção
. À medida que
aumenta,
cresce e o triângulo afasta‑se da origem, aproximando‑se do plano
(onde
diverge).