Determine e esboce os seguintes conjuntos de níveis:
f(x, y, z)=\sqrt{\frac{2}{3-x-y-z}} ;(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0) para os níveis 1,2 e 3 .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\sqrt{\dfrac{2}{3-x-y-z}} com a restrição x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0. Pede-se: para os níveis 1, 2 e 3, determinar (isto é, descrever matematicamente) os conjuntos de nível \{(x,y,z): f(x,y,z)=k\} e esboçá‑los. As informações relevantes são: a expressão de f e a condição de não negatividade das coordenadas.

Passo 2

Definição prática: o conjunto de nível para um valor k>0 é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
f(x,y,z)=k.
Aqui vamos substituir f e resolver a equação em termos de x,y,z. Para simplificar, denote S=x+y+z (a soma das coordenadas).

Passo 3

Escrevendo a equação do nível:
\sqrt{\dfrac{2}{3-S}}=k.
Como k>0 (os níveis dados são 1,2,3), podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem alterar soluções:
\dfrac{2}{3-S}=k^{2}.
Agora isolamos S. Multiplicando ambos os lados por 3-S e dividindo por k^{2},
3-S=\dfrac{2}{k^{2}}.
Logo
S=x+y+z=3-\dfrac{2}{k^{2}}.
Observação sobre domínio: precisamos de 3-S>0 para a raiz estar definida; com a fórmula acima temos 3-S=\dfrac{2}{k^{2}}>0, então está OK para todo k\neq 0.

Passo 4

Interpretação geométrica: a equação
x+y+z=\text{constante}
é um plano cuja normal é o vetor (1,1,1). O conjunto de nível dentro do domínio x,y,z\ge 0 é a interseção desse plano com o primeiro octante, isto é, um triângulo plano cujos vértices ocorrem quando duas coordenadas são 0. Assim, para um dado valor de S os vértices são
(S,0,0),\qquad (0,S,0),\qquad (0,0,S).

Passo 5

Agora aplicamos para cada nível.
Para k=1:
S=3-\dfrac{2}{1^{2}}=3-2=1.
O conjunto de nível é o triângulo
x+y+z=1,\quad x,y,z\ge 0,
com vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Passo 6

Para k=2:
S=3-\dfrac{2}{2^{2}}=3-\dfrac{2}{4}=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}.
O conjunto de nível é o triângulo
x+y+z=\dfrac{5}{2},\quad x,y,z\ge 0,
com vértices \left(\dfrac{5}{2},0,0\right), \left(0,\dfrac{5}{2},0\right), \left(0,0,\dfrac{5}{2}\right).

Passo 7

Para k=3:
S=3-\dfrac{2}{3^{2}}=3-\dfrac{2}{9}=\dfrac{25}{9}.
O conjunto de nível é o triângulo
x+y+z=\dfrac{25}{9},\quad x,y,z\ge 0,
com vértices \left(\dfrac{25}{9},0,0\right), \left(0,\dfrac{25}{9},0\right), \left(0,0,\dfrac{25}{9}\right).

Passo 8

Comentários para esboço (como desenhar): todas as três superfícies são planos paralelos (mesma normal (1,1,1)), então os triângulos gerados são triângulos equiláteros (em 3D, cada aresta tem comprimento S\sqrt{2}) localizados ao longo da direção x=y=z. À medida que k aumenta, S=3-2/k^{2} cresce e o triângulo afasta‑se da origem, aproximando‑se do plano x+y+z=3 (onde f diverge).

Resposta

\text{Nível }1:\\ x+y+z=1,\\ x,y,z\ge 0í com vértices (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
\text{Nível }2:\\ x+y+z=\dfrac{5}{2},\\ x,y,z\ge 0í com vértices \left(\dfrac{5}{2},0,0\right),\left(0,\dfrac{5}{2},0\right),\left(0,0,\dfrac{5}{2}\right).
\text{Nível }3:\\ x+y+z=\dfrac{25}{9},\\ x,y,z\ge 0í com vértices \left(\dfrac{25}{9},0,0\right),\left(0,\dfrac{25}{9},0\right),\left(0,0,\dfrac{25}{9}\right).

Exercícios relacionados