Determinar as derivadas parciais de f para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (ou seja, tanto em pontos diferentes de (0,0) quanto em (0,0)).
Verificar se f é diferenciável em (0,0).
Dados relevantes que o enunciado dá e que usaremos: a expressão explícita de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor f(0,0)=0.]
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais em um ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0). Uma forma prática é notar que f depende de x e y apenas através da combinação u=x^{2}+y^{2}. Definimos
Explicando a ideia (cadeia de responsabilidades): para calcular \partial f/\partial x usamos a regra da cadeia para funções compostas f=h\circ u: primeiro derivamos h em relação a u, depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x.
Passo 3
Calculemos h'(u). Para u>0,
h(u)=u\sin\!\left(\frac{1}{u}\right).
Derivando em relação a u (produto de duas funções u e \sin(1/u)):
Agora a derivada \dfrac{d}{du}\sin\!\left(\dfrac{1}{u}\right) usa novamente a regra da cadeia: a derivada de \sin(v) é \cos(v) vezes a derivada de v=1/u, que é -1/u^{2}. Assim
Portanto ambas as derivadas parciais em (0,0) são iguais a 0.
Passo 8
Agora verificamos a diferenciabilidade em (0,0). Recordando a definição: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que
Quando as derivadas parciais existem, o candidato natural para L é L(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,x+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,y. Aqui encontrámos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, logo o candidato é L\equiv 0. Precisamos verificar que