Determine os pontos de sela, máximos e mínimos de:
f(x, y)=\left(x^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)
(2 ptos.) *

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\left(x^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right)
e pede para determinar os pontos de sela, os máximos e os mínimos. Ou seja, devemos encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe) e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão analítica completa de f(x,y) (nenhuma outra figura ou tabela foi fornecida).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem ainda resolver): para funções de duas variáveis contínuas e diferenciáveis como f a abordagem padrão é:
  1. Calcular as derivadas parciais primeiras \partial f/\partial x e \partial f/\partial y.
  2. Resolver o sistema \partial f/\partial x=0,\;\partial f/\partial y=0 para obter os pontos críticos.
  3. Usar o teste da segunda derivada (matriz Hessiana) para classificar cada ponto crítico.
Breve explicação do que é o gradiente: o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Pontos críticos são onde esse vetor é o vetor nulo. Intuição: movendo-se um pouco em qualquer direção, a variação de f na primeira ordem é dada pelo produto escalar com o gradiente; se o gradiente é zero, a variação de primeira ordem desaparece e temos que olhar a ordem superior (segunda ordem) para classificar o ponto.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais primeiras (mostrando os passos):
Começamos com f(x,y)=\left(x^{2}-1\right)\left(y^{2}-4\right).
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,(y^{2}-4).
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\,(x^{2}-1).
Agora resolvemos o sistema das derivadas iguais a zero:
2x\,(y^{2}-4)=0,
2y\,(x^{2}-1)=0.
Podemos simplificar dividindo por 2:
x\,(y^{2}-4)=0,
y\,(x^{2}-1)=0.
Analisamos casos para obter todas as soluções:
  • Se x=0, então da segunda equação y\,(0^{2}-1)=y(-1)=0\Rightarrow y=0. Isso dá o ponto (0,0).
  • Se y=0, pela simetria obtemos novamente x=0, ponto (0,0).
  • Se y^{2}-4=0, então y^{2}=4\Rightarrow y=\pm2. Substituindo na segunda equação obtemos y\neq0 então é necessário x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm1. Assim surgem os pontos (1,2),(1,-2),(-1,2),(-1,-2).
Portanto os pontos críticos são:
(0,0),\quad (1,2),\quad (1,-2),\quad (-1,2),\quad (-1,-2).

Passo 4

Explicação do teste de segunda derivada (Hessiano) e como classificar:
Formamos as segundas derivadas parciais e a matriz Hessiana
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
As componentes são:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
O determinante do Hessiano (chamado de D) em um ponto (x_0,y_0) é
D(x_0,y_0)=f_{xx}(x_0,y_0)\,f_{yy}(x_0,y_0)-\big(f_{xy}(x_0,y_0)\big)^2.
Regra de classificação local:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 em (x_0,y_0): mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 em (x_0,y_0): máximo local.
  • Se D<0: ponto de sela.
  • Se D=0: teste inconclusivo (seria preciso investigar mais).]

Passo 5

Calcular as segundas derivadas e o determinante do Hessiano (mostrando contas):
Das primeiras derivadas já obtidas:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,(y^{2}-4),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y\,(x^{2}-1).
Segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x\,(y^{2}-4)\big)=2\,(y^{2}-4).
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2y\,(x^{2}-1)\big)=2\,(x^{2}-1).
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x\,(y^{2}-4)\big)=2x\cdot 2y=4xy.
(Nota: por igualdade das segundas mistas, f_{yx}=f_{xy}=4xy.)
O determinante do Hessiano é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} = \big(2(y^{2}-4)\big)\big(2(x^{2}-1)\big)-(4xy)^{2}.
Podemos simplificar um pouco:
D(x,y)=4\,(y^{2}-4)(x^{2}-1)-16x^{2}y^{2}.
Agora avaliamos f_{xx},f_{yy},f_{xy},D em cada ponto crítico.
  1. Em (0,0):
f_{xx}(0,0)=2(0-4)=-8,
f_{yy}(0,0)=2(0-1)=-2,
f_{xy}(0,0)=4\cdot 0\cdot 0=0,
D(0,0)=(-8)(-2)-0=16>0.
Como D>0 e f_{xx}=-8<0, concluímos que (0,0) é um máximo local. Valor de f em (0,0):
f(0,0)=(0^{2}-1)(0^{2}-4)=(-1)(-4)=4.
  1. Em qualquer ponto (x,y) com x^{2}=1 e y^{2}=4, isto é, nos quatro pontos (\pm1,\pm2):
f_{xx}=2(y^{2}-4)=2(4-4)=0,
f_{yy}=2(x^{2}-1)=2(1-1)=0,
f_{xy}=4xy\quad\Rightarrow\quad f_{xy}=\pm 8 \text{ (dependendo dos sinais de }x\text{ e }y),
D=(0)(0)-(f_{xy})^{2}= - (f_{xy})^{2}<0.
Como D<0, cada um desses quatro pontos é um ponto de sela. O valor de f nesses pontos é
f(\pm1,\pm2)=(1-1)(4-4)=0.
Não há pontos onde o teste dê D>0 com f_{xx}>0, logo não existem mínimos locais entre os pontos críticos encontrados. (Globalmente f não tem máximo nem mínimo absoluto porque tende a +\infty quando |x|,|y|\to\infty simultaneamente; aqui tratamos apenas dos extremos locais.)

Passo 6

Resumo final (classificação completa):
  • Ponto crítico (0,0): máximo local com f(0,0)=4.
  • Pontos críticos (1,2),(1,-2),(-1,2),(-1,-2): pontos de sela com f=0.
  • Não há mínimos locais entre os pontos críticos encontrados.

Resposta

Máximo local: (0,0) com f(0,0)=4.
Pontos de sela: (1,2),\\ (1,-2),\\ (-1,2),\\ (-1,-2) (todos com f=0).
Mínimos locais: nenhum.

Exercícios relacionados