Determine os pontos de sela, máximos e mínimos de:
(2 ptos.) *
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar os pontos de sela, os máximos e os mínimos. Ou seja, devemos encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe) e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão analítica completa de
(nenhuma outra figura ou tabela foi fornecida).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem ainda resolver): para funções de duas variáveis contínuas e diferenciáveis como
a abordagem padrão é:
- Calcular as derivadas parciais primeiras
e . - Resolver o sistema
para obter os pontos críticos. - Usar o teste da segunda derivada (matriz Hessiana) para classificar cada ponto crítico.
Breve explicação do que é o gradiente: o gradiente de
é o vetor das derivadas parciais,
Pontos críticos são onde esse vetor é o vetor nulo. Intuição: movendo-se um pouco em qualquer direção, a variação de
na primeira ordem é dada pelo produto escalar com o gradiente; se o gradiente é zero, a variação de primeira ordem desaparece e temos que olhar a ordem superior (segunda ordem) para classificar o ponto.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais primeiras (mostrando os passos):
Começamos com .
Começamos com
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Agora resolvemos o sistema das derivadas iguais a zero:
Podemos simplificar dividindo por
:
Analisamos casos para obter todas as soluções:
-
Se
, então da segunda equação . Isso dá o ponto . -
Se
, pela simetria obtemos novamente , ponto . -
Se
, então . Substituindo na segunda equação obtemos então é necessário . Assim surgem os pontos .
Portanto os pontos críticos são:
Passo 4
Explicação do teste de segunda derivada (Hessiano) e como classificar:
Formamos as segundas derivadas parciais e a matriz Hessiana
Formamos as segundas derivadas parciais e a matriz Hessiana
As componentes são:
O determinante do Hessiano (chamado de
) em um ponto
é
Regra de classificação local:
- Se
e em : mínimo local. - Se
e em : máximo local. - Se
: ponto de sela. - Se
: teste inconclusivo (seria preciso investigar mais).]
Passo 5
Calcular as segundas derivadas e o determinante do Hessiano (mostrando contas):
Das primeiras derivadas já obtidas:
Das primeiras derivadas já obtidas:
Segundas derivadas:
(Nota: por igualdade das segundas mistas,
.)
O determinante do Hessiano é
Podemos simplificar um pouco:
Agora avaliamos
em cada ponto crítico.
- Em
:
Como
e
, concluímos que
é um máximo local. Valor de
em
:
- Em qualquer ponto
com e , isto é, nos quatro pontos :
Como
, cada um desses quatro pontos é um ponto de sela. O valor de
nesses pontos é
Não há pontos onde o teste dê
com
, logo não existem mínimos locais entre os pontos críticos encontrados. (Globalmente
não tem máximo nem mínimo absoluto porque tende a
quando
simultaneamente; aqui tratamos apenas dos extremos locais.)
Passo 6
Resumo final (classificação completa):
- Ponto crítico
: máximo local com . - Pontos críticos
: pontos de sela com . - Não há mínimos locais entre os pontos críticos encontrados.
Resposta
Máximo local:
com
.
Pontos de sela: (todos com
).
Mínimos locais: nenhum.
Pontos de sela:
Mínimos locais: nenhum.