Determine e esboce a Transformada de Fourier do seguinte sinal:
x(t)= 1, & |t| <= T1 0, & |t|>T1

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Transformada de Fourier! O que precisamos fazer aqui é encontrar a Transformada de Fourier de um sinal que é igual a 1 quando e 0 caso contrário. Isso está dentro da matéria de Análise de Sinais, onde usamos a Transformada de Fourier para analisar sinais no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela é uma ferramenta matemática que transforma um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência. A fórmula geral da Transformada de Fourier de um sinal X(f) = integral-infty^infty x(t) e^-j 2pi f t , dt é:

Passo 3

No nosso caso, o sinal X(f) = integral-T1^T1 1 cdot e^-j 2pi f t , dt é igual a 1 entre e , e 0 fora desse intervalo. Então, podemos reescrever a integral limitada a esse intervalo:

Passo 4

Agora, vamos integrar X(f) = [ e^-j 2pi f t-j 2pi f ]-T1^T1 em relação a de a . A integral de um expoente complexo resulta em:

Passo 5

Calculando os limites da integral:
X(f) = e^-j 2pi f T1 - e^j 2pi f T1-j 2pi f

Passo 6

Usando a identidade de Euler, podemos simplificar a expressão:
e^-j theta - e^j theta = -2j sin(theta)
Substituindo X(f) = -2j sin(2pi f T1)-j 2pi f = sin(2pi f T1)pi f :

Passo 7

Reconhecemos que X(f) = 2 T1 cdot sinc(2 T1 f) é a função sinc, então podemos escrever:

Resposta

A Transformada de Fourier do sinal X(f) = 2 T1 cdot sinc(2 T1 f) é:

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