Determine e esboce a Transformada de Fourier do seguinte sinal:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Transformada de Fourier! O que precisamos fazer aqui é encontrar a Transformada de Fourier de um sinal que é igual a 1 quando
e 0 caso contrário. Isso está dentro da matéria de Análise de Sinais, onde usamos a Transformada de Fourier para analisar sinais no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela é uma ferramenta matemática que transforma um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência. A fórmula geral da Transformada de Fourier de um sinal
é:
Passo 3
No nosso caso, o sinal
é igual a 1 entre
e
, e 0 fora desse intervalo. Então, podemos reescrever a integral limitada a esse intervalo:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
de
a
. A integral de um expoente complexo resulta em:
Passo 5
Calculando os limites da integral:
Passo 6
Usando a identidade de Euler, podemos simplificar a expressão:
Substituindo
:
Passo 7
Reconhecemos que
é a função sinc, então podemos escrever:
Resposta
A Transformada de Fourier do sinal
é: