A entrada e saída de um SLIT causal estão relacionados pela seguinte equação diferencial
d^2 y(t)d t^2+6 d y(t)d t+8 y(t)=2 x(t)
Determine a resposta ao impulso desse sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a entrada e a saída de um sistema causal chamado SLIT. O objetivo é encontrar a resposta ao impulso desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e função de transferência, que são ferramentas importantes na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
d^2 y(t)d t^2 + 6 d y(t)d t + 8 y(t) = 2 x(t)
Aqui, é a saída do sistema e é a entrada.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que, ao aplicar a transformada, as derivadas no tempo se transformam em polinômios em s^2 Y(s) + 6 s Y(s) + 8 Y(s) = 2 X(s) :
Assumindo que as condições iniciais são zero ( e ), a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar Y(s) (s^2 + 6s + 8) = 2 X(s) da equação:
H(s) = Y(s)X(s) = 2s^2 + 6s + 8
Para encontrar a função de transferência , que é a relação entre e , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Vamos simplificar o denominador fatorando o polinômio quadrático:
s^2 + 6s + 8 = (s + 2)(s + 4)
Portanto, a função de transferência fica:
H(s) = 2(s + 2)(s + 4)

Passo 6

Para encontrar a resposta ao impulso 2(s + 2)(s + 4) = As + 2 + Bs + 4 , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de 2 = A (s + 4) + B (s + 2) . Primeiro, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Vamos encontrar os valores de 2 = A (0) + B (-2) Rightarrow B = -1 e 2 = A (2) + B (0) Rightarrow A = 1 substituindo valores de H(s) = 1s + 2 - 1s + 4 que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:
  • h(t) = e^-2 t - e^-4 t
Aplicando isso, temos:

Resposta

A resposta ao impulso desse sistema é:
h(t) = e^-2 t - e^-4 t

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