A entrada e saída de um SLIT causal estão relacionados pela seguinte equação diferencial
Determine a resposta ao impulso desse sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a entrada e a saída de um sistema causal chamado SLIT. O objetivo é encontrar a resposta ao impulso desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Laplace e função de transferência, que são ferramentas importantes na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
Aqui,
é a saída do sistema e
é a entrada.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que, ao aplicar a transformada, as derivadas no tempo se transformam em polinômios em
:
Assumindo que as condições iniciais são zero (
e
), a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
da equação:
Para encontrar a função de transferência
, que é a relação entre
e
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador fatorando o polinômio quadrático:
Portanto, a função de transferência fica:
Passo 6
Para encontrar a resposta ao impulso
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de
. Primeiro, vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Vamos encontrar os valores de
e
substituindo valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:
Aplicando isso, temos:
Resposta
A resposta ao impulso desse sistema é: