Determine e esboce a Transformada de Fourier do seguinte sinal:
x(t)=u(t) Dica: utilize a propriedade da integração a partir de de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e esboçar a Transformada de Fourier do sinal . Isso faz parte do estudo de sinais e sistemas, especificamente de transformadas integrais usadas para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade da integração a partir da função delta de Dirac, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência, mostrando como as diferentes frequências estão presentes no sinal. A fórmula geral da Transformada de Fourier é:
X(f) = integral-infty^+infty x(t) e^-j 2pi f t dt
No nosso caso, u(t) = 0, & t < 0 1, & t >= 0 , que é a função degrau de Heaviside. A função degrau é definida como:

Passo 3

Agora, usando a propriedade da integração a partir da função delta, sabemos que a derivada da função degrau ddt u(t) = de é a função delta de Dirac :
Isso é útil porque podemos relacionar a Transformada de Fourier da derivada de com a Transformada de Fourier de .

Passo 4

Vamos aplicar a Transformada de Fourier à derivada de Fddt u(t) = Fde:
Fddt x(t) = j 2pi f X(f)
Mas também sabemos que a Transformada de Fourier da derivada de uma função é:
Onde é a Transformada de Fourier de .

Passo 5

Igualando as duas expressões que encontramos:
j 2pi f X(f) = 1
Agora, vamos resolver para X(f) = 1j 2pi f :
X(f) = -j2pi f^2
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por :

Passo 6

No entanto, para X(f) = pi de, sabemos que a Transformada de Fourier também inclui um termo do tipo , que representa a componente DC (de frequência zero) do sinal.
Assim, a Transformada de Fourier completa de é:

Resposta

A Transformada de Fourier do sinal X(f) = pi de é:
Esse resultado mostra que o sinal degrau tem uma componente de frequência zero (representada por ) e uma componente contínua distribuída ao longo de todas as frequências com magnitude inversamente proporcional a .

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