Determine e esboce a Transformada de Fourier do seguinte sinal:
Dica: utilize a propriedade da integração a partir de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar e esboçar a Transformada de Fourier do sinal
. Isso faz parte do estudo de sinais e sistemas, especificamente de transformadas integrais usadas para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade da integração a partir da função delta de Dirac,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência, mostrando como as diferentes frequências estão presentes no sinal. A fórmula geral da Transformada de Fourier é:
No nosso caso,
, que é a função degrau de Heaviside. A função degrau é definida como:
Passo 3
Agora, usando a propriedade da integração a partir da função delta, sabemos que a derivada da função degrau
é a função delta de Dirac
:
Isso é útil porque podemos relacionar a Transformada de Fourier da derivada de
com a Transformada de Fourier de
.
Passo 4
Vamos aplicar a Transformada de Fourier à derivada de
:
Mas também sabemos que a Transformada de Fourier da derivada de uma função é:
Onde
é a Transformada de Fourier de
.
Passo 5
Igualando as duas expressões que encontramos:
Agora, vamos resolver para
:
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por
:
Passo 6
No entanto, para
, sabemos que a Transformada de Fourier também inclui um termo do tipo
, que representa a componente DC (de frequência zero) do sinal.
Assim, a Transformada de Fourier completa de
é:
Resposta
A Transformada de Fourier do sinal
é:
Esse resultado mostra que o sinal degrau tem uma componente de frequência zero (representada por
) e uma componente contínua distribuída ao longo de todas as frequências com magnitude inversamente proporcional a
.