Determine os escalares a, b de modo que a matriz
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 4 & 2 a-b \\\ a+b & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 5 \end{array}\right]
seja simétrica.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os escalares a e b de modo que a matriz
\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2a-b \\\ a+b & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 5 \end{pmatrix}
seja simétrica.
Informações dadas (entradas da matriz):
\begin{array}{l} \text{Entrada }(1,1)=2,\quad (1,2)=4,\quad (1,3)=2a-b,\\[4pt] \text{Entrada }(2,1)=a+b,\quad (2,2)=3,\quad (2,3)=0,\\[4pt] \text{Entrada }(3,1)=-1,\quad (3,2)=0,\quad (3,3)=5. \end{array}
As perguntas que devemos responder: encontrar os valores de a e de b que tornam essa matriz simétrica.]

Passo 2

O que significa “matriz simétrica”? Vou explicar devagar e com jeitinho de amigo.
Uma matriz A=(a_{ij}) é simétrica se ela for igual à sua transposta A^T. Em termos de entradas isso quer dizer:
a_{ij}=a_{ji}\quad\text{para todo par }i,j.
Isto significa que todos os elementos acima da diagonal principal têm de ser iguais aos correspondentes elementos refletidos abaixo da diagonal. As entradas da diagonal ( a_{11},a_{22},a_{33}) não impõem novas condições porque sempre valem elas mesmas.
No nosso caso, precisamos só igualar cada par de entradas espelhadas (fora da diagonal): (1,2) com (2,1), (1,3) com (3,1) e (2,3) com (3,2).

Passo 3

Agora escrevemos as equações decorrentes das igualdades dos elementos espelhados.
  • Igualando (1,2) com (2,1):
4 = a+b.
  • Igualando (1,3) com (3,1):
2a - b = -1.
  • Igualando (2,3) com (3,2): aqui 0=0, que já é verdade e não dá equação nova.
Portanto obtemos o sistema linear de duas equações nas incógnitas a e b:
\begin{cases} a+b=4,\\[4pt] 2a-b=-1. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Vou usar o método da substituição (é simples e rápido aqui):
Da primeira equação temos
b = 4 - a.
Substituo esse b na segunda equação:
2a - (4 - a) = -1.
Agora desenvolvo e simplifico:
2a -4 + a = -1,
3a - 4 = -1,
3a = 3,
a = 1.
Agora volto em b = 4 - a:
b = 4 - 1 = 3.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): com a=1 e b=3 temos
a+b = 1+3 = 4 \quad\text{(combina com (1,2)=4)},
2a-b = 2\cdot1 - 3 = -1 \quad\text{(combina com (3,1)=-1)}.
E (2,3)=(3,2)=0 já batia. Logo a matriz fica simétrica.
Dica prática para a prova: com matrizes pequenas (3×3 ou 2×2) o método é sempre este — igualar os pares espelhados e resolver o sistema resultante. Exemplo rápido: se \begin{pmatrix}1 & x\\\\ 2 & 3\end{pmatrix} for simétrica, então x=2.

Resposta

a=1
b=3

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