Mostre que as seguintes propriedades são verdadeiras
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre que a propriedade
é verdadeira. As informações dadas são:
O objetivo é provar que a transposta do produto de um escalar pela matriz é igual ao produto do mesmo escalar pela transposta da matriz.
Passo 2
Vamos lembrar definições básicas que vamos usar (devagar e com calma):
Aqui
denota o elemento da linha
e coluna
da matriz
.
Também usamos que duas matrizes são iguais se e somente se todos os seus elementos correspondentes forem iguais.
Passo 3
Agora vamos olhar o lado esquerdo da igualdade elemento a elemento. Seja
e
índices quaisquer (válidos para as dimensões):
pela definição de transposta aplicada à matriz
.
Passo 4
Usando a definição de multiplicação por escalar no lado direito da expressão do passo anterior, obtemos
Portanto
Passo 5
Agora calculamos o elemento correspondente do lado direito da igualdade que queremos provar:
pela definição de multiplicação por escalar, e aplicando a definição de transposta em
temos
logo
Passo 6
Comparando os resultados dos passos 4 e 5 vemos que, para todo
,
Como todos os elementos correspondentes das duas matrizes são iguais, concluímos que as matrizes são iguais:
(se quiser, um exemplo numérico rápido para fixar: tome
e
. Então
,
; por outro lado
e
, mesmo resultado.)