Mostre que as seguintes propriedades são verdadeiras
(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre que a propriedade
(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}
é verdadeira. As informações dadas são:
\text{A matriz }A\text{ é uma matriz qualquer de tamanho }m\times n,é
\text{e }\alpha\text{ é um escalar (número).}éú
O objetivo é provar que a transposta do produto de um escalar pela matriz é igual ao produto do mesmo escalar pela transposta da matriz.

Passo 2

Vamos lembrar definições básicas que vamos usar (devagar e com calma):
\text{Definição da transposta: se }B\text{ é }m\times n,\text{ então }B^{t}\text{ é }n\times m\text{ e}çãéãé
(B^{t})_{ij}=B_{ji}\quad\text{para todo }i,j.
Aqui B_{ij} denota o elemento da linha i e coluna j da matriz B.
\text{Definição da multiplicação por escalar: se }\alpha\text{ é escalar e }A\text{ tem entrada }A_{ij},çãçãé
(\alpha A)_{ij}=\alpha A_{ij}\quad\text{para todo }i,j.
Também usamos que duas matrizes são iguais se e somente se todos os seus elementos correspondentes forem iguais.

Passo 3

Agora vamos olhar o lado esquerdo da igualdade elemento a elemento. Seja i e j índices quaisquer (válidos para as dimensões):
\big((\alpha A)^{t}\big)_{ij} = (\alpha A)_{ji}
pela definição de transposta aplicada à matriz \alpha A.

Passo 4

Usando a definição de multiplicação por escalar no lado direito da expressão do passo anterior, obtemos
(\alpha A)_{ji}=\alpha A_{ji}.
Portanto
\big((\alpha A)^{t}\big)_{ij}=\alpha A_{ji}.

Passo 5

Agora calculamos o elemento correspondente do lado direito da igualdade que queremos provar:
(\alpha A^{t})_{ij}=\alpha (A^{t})_{ij}
pela definição de multiplicação por escalar, e aplicando a definição de transposta em A temos
(A^{t})_{ij}=A_{ji},
logo
(\alpha A^{t})_{ij}=\alpha A_{ji}.

Passo 6

Comparando os resultados dos passos 4 e 5 vemos que, para todo i,j,
\big((\alpha A)^{t}\big)_{ij}=\alpha A_{ji}=(\alpha A^{t})_{ij}.
Como todos os elementos correspondentes das duas matrizes são iguais, concluímos que as matrizes são iguais:
(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}.
(se quiser, um exemplo numérico rápido para fixar: tome \alpha=2 e A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix}. Então \alpha A=\begin{pmatrix}2&4\\\ 6&8\end{pmatrix}, (\alpha A)^{t}=\begin{pmatrix}2&6\\\ 4&8\end{pmatrix}; por outro lado A^{t}=\begin{pmatrix}1&3\\\ 2&4\end{pmatrix} e \alpha A^{t}=\begin{pmatrix}2&6\\\ 4&8\end{pmatrix}, mesmo resultado.)

Resposta

(\alpha A)^{t}=\alpha A^{t}

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