Determine o espaço amostral, os eventos ( A, B, C ) e indique quais destes eventos são mutuamente exclusivos, B^C, A cap B, B cap C:
  • Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente.
    A : ocorrer cara e um número par
    B : ocorrer um número primo
    C : ocorrer coroa e um número ímpar

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o espaço amostral e três eventos ( A, B, C) quando a gente lança uma moeda e um dado ao mesmo tempo. Além disso, precisamos verificar quais desses eventos não podem acontecer ao mesmo tempo (mutuamente exclusivos) e calcular algumas intersecções como B^C, A cap B e B cap C.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é espaço amostral, o que são eventos, e o conceito de eventos mutuamente exclusivos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir o espaço amostral. Quando a gente lança uma moeda e um dado, cada resultado possível combina o resultado da moeda (cara ou coroa) com o resultado do dado (1 a 6).
Então, o espaço amostral ( S) é:
S = (Cara, 1), (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 4), (Cara, 5), (Cara, 6), (Coroa, 1), (Coroa, 2), (Coroa, 3), (Coroa, 4), (Coroa, 5), (Coroa, 6)

Passo 3

Agora, vamos definir os eventos:
  • Evento A: ocorrer cara e um número par.
    Isso significa que estamos procurando os resultados onde a moeda dá cara e o número do dado é par (2, 4, 6).
    Então, A = (Cara, 2), (Cara, 4), (Cara, 6)
  • Evento B: ocorrer um número primo.
    Números primos de 1 a 6 são 2, 3 e 5.
    Como não especifica a moeda, o evento B inclui tanto cara quanto coroa com esses números.
    Então, B = (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 5), (Coroa, 2), (Coroa, 3), (Coroa, 5)
  • Evento C: ocorrer coroa e um número ímpar.
    Números ímpares de 1 a 6 são 1, 3 e 5.
    Então, C = (Coroa, 1), (Coroa, 3), (Coroa, 5)

Passo 4

Vamos agora identificar quais desses eventos são mutuamente exclusivos. Dois eventos são mutuamente exclusivos se não podem acontecer ao mesmo tempo, ou seja, não têm elementos em comum.
Vamos verificar:
  • A e B: A = (Cara, 2), (Cara, 4), (Cara, 6) e B = (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 5), (Coroa, 2), (Coroa, 3), (Coroa, 5). Eles compartilham (Cara, 2), então A e B não são mutuamente exclusivos.
  • A e C: A contém apenas resultados com Cara e números pares, enquanto C contém Coroa e números ímpares. Não há sobreposição, então A e C são mutuamente exclusivos.
  • B e C: B contém tanto Cara quanto Coroa com números primos, e C contém apenas Coroa com números ímpares. Eles compartilham (Coroa, 3) e (Coroa, 5). Então, B e C não são mutuamente exclusivos.

Passo 5

Agora, vamos calcular as intersecções pedidas:
  • B^C: Isso representa o complemento de B em relação a C, ou seja, os elementos que estão em B e não estão em C.
    Porém, parece que houve uma confusão na notação. Geralmente, B^C denota o complemento de B, que são todos os elementos que não estão em B no espaço amostral.
    Então,
    B^C = S setminus B = (Cara, 1), (Cara, 4), (Cara, 6), (Coroa, 1), (Coroa, 4), (Coroa, 6)
  • A cap B: A intersecção entre A e B são os elementos que estão nos dois eventos.
    A = (Cara, 2), (Cara, 4), (Cara, 6)
    B = (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 5), (Coroa, 2), (Coroa, 3), (Coroa, 5)
    Então,
    A cap B = (Cara, 2)
  • B cap C: A intersecção entre B e C são os elementos que estão nos dois eventos.
    B = (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 5), (Coroa, 2), (Coroa, 3), (Coroa, 5)
    C = (Coroa, 1), (Coroa, 3), (Coroa, 5)
    Então,
    B cap C = (Coroa, 3), (Coroa, 5)

Resposta

Resumo:
  • Espaço amostral: S = (Cara, 1), (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 4), (Cara, 5), (Cara, 6), (Coroa, 1), (Coroa, 2), (Coroa, 3), (Coroa, 4), (Coroa, 5), (Coroa, 6)
  • Eventos:
    • A = (Cara, 2), (Cara, 4), (Cara, 6)
    • B = (Cara, 2), (Cara, 3), (Cara, 5), (Coroa, 2), (Coroa, 3), (Coroa, 5)
    • C = (Coroa, 1), (Coroa, 3), (Coroa, 5)
  • Eventos mutuamente exclusivos: A e C
  • Intersecções:
    • B^C = (Cara, 1), (Cara, 4), (Cara, 6), (Coroa, 1), (Coroa, 4), (Coroa, 6)
    • A cap B = (Cara, 2)
    • B cap C = (Coroa, 3), (Coroa, 5)

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