Determine o estado de polarização das ondas caracterizadas pelos seguintes campos elétricos.
\vec{E}(t, x)=2 \cos \left(10^{9} t-5 x\right) \hat{\mathbf{y}}+3 \sin \left(10^{9} t-5 x\right) \hat{\mathbf{z}} \quad(\mathrm{V} / \mathrm{m}).

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico
\vec{E}(t,x)=2\cos\bigl(10^{9}t-5x\bigr)\,\hat{\mathbf{y}} \;+\;3\sin\bigl(10^{9}t-5x\bigr)\,\hat{\mathbf{z}}
e pede o estado de polarização da onda que se propaga em +x. Vamos usar a representação de cada componente com um único argumento de fase e determinar a forma da curva traçada por \vec E no plano y\!\text{-}z.

Passo 2

Defina
\varphi =10^{9}t-5x.
Então
E_{y}=2\cos\varphi, \quad E_{z}=3\sin\varphi =3\cos\bigl(\varphi-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Portanto a diferença de fase entre E_{y} e E_{z} é
\delta =-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

A equação geral da elipse de polarização é
\Bigl(\frac{E_{y}}{A}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{E_{z}}{B}\Bigr)^{2} -2\,\frac{E_{y}E_{z}}{AB}\cos\delta =\sin^{2}\!\delta,
com A=2, B=3. Como \cos\delta=0 e \sin\delta=1, obtemos
\Bigl(\frac{E_{y}}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{E_{z}}{3}\Bigr)^{2}=1,
ou seja, \vec E descreve uma elipse cujos semi-eixos estão alinhados com y e z.

Passo 4

Como o eixo maior (semieixo de comprimento 3) está em z e o menor (comprimento 2) está em y, a polarização é elíptica com eixos coincidentes aos eixos coordenados. Para determinar o sentido de rotação, note em um ponto fixo x que, ao aumentar t a fase \varphi cresce, e
  • em \varphi=0: E_{y}=2>0, E_{z}=0;
  • logo depois, \varphi>0 pequeno faz E_{z}=3\sin\varphi>0.
    Isso indica que o vetor \vec E gira de y em direção a z. Para propagação em +x, essa rotação corresponde à polarização elíptica dextrógira (right-handed).

Resposta

A onda é polarizada de forma elíptica, com semi-eixos \,2 em y e \,3 em z, e apresenta sentido dextrógiro (right-handed) ao longo da direção de propagação +x.

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