QUATRO PONTOS
Uma barra esbelta com massa
gira no plano vertical em torno do pino B. Uma mola com constante
e um comprimento livre de 15 cm está conectada à barra como mostrado. Considerando que a barra foi liberada a partir do repouso na posição mostrada, determine a reação no pino B quando a barra girar
, passando pela posição horizontal.
Uma barra esbelta com massa
Passo 1
Beleza, aqui o que temos:
– Uma barra esbelta de massa m=5 kg gira em torno do pino B no plano vertical.
– Há uma mola de constante k=50 N/m e comprimento livre ℓ₀=0,15 m presa no extremo livre da barra (ponto A) e no pino B.
– A barra parte do repouso na posição vertical e, quando atinge a horizontal (90°), queremos achar a reação R no pino B.
– Uma barra esbelta de massa m=5 kg gira em torno do pino B no plano vertical.
– Há uma mola de constante k=50 N/m e comprimento livre ℓ₀=0,15 m presa no extremo livre da barra (ponto A) e no pino B.
– A barra parte do repouso na posição vertical e, quando atinge a horizontal (90°), queremos achar a reação R no pino B.
Conteúdo envolvido:
• Energia potencial gravitacional e cinética de rotação (I·ω²/2)
• Força elástica da mola (F_s = k·Δx)
• Dinâmica de corpo rígido – soma de forças = m·a_CG
• Momento de inércia de barra fina em torno de uma extremidade (I = (1/3)mL²)
• Energia potencial gravitacional e cinética de rotação (I·ω²/2)
• Força elástica da mola (F_s = k·Δx)
• Dinâmica de corpo rígido – soma de forças = m·a_CG
• Momento de inércia de barra fina em torno de uma extremidade (I = (1/3)mL²)
Para resolver vai faltar o comprimento L da barra (distância B→A); a partir daí a gente calcula ω pelo método energia, depois equaciona forças no CG para obter R_x e R_y e, por fim, R = √(R_x²+R_y²).
Passo 2
Energia mecânica entre as posições vertical (inicial) e horizontal (final):
– Variação de energia da mola é zero, pois em ambas as posições o comprimento da mola é L ⇒ Δx = L–ℓ₀ (igual nas duas).
– Descaso trabalho da mola na energia total.
– Variação de energia da mola é zero, pois em ambas as posições o comprimento da mola é L ⇒ Δx = L–ℓ₀ (igual nas duas).
– Descaso trabalho da mola na energia total.
Logo, a perda de energia potencial gravitacional vira energia cinética de rotação:
m·g·(altura que o CG desceu) = ½·I·ω²
m·g·(altura que o CG desceu) = ½·I·ω²
O CG desce uma distância h = L/2 quando a barra gira 90°.
E I = (1/3)mL².
E I = (1/3)mL².
Então
m·g·(L/2) = ½·[(1/3)mL²]·ω²
⟹ ω² = (3g)/L
m·g·(L/2) = ½·[(1/3)mL²]·ω²
⟹ ω² = (3g)/L
Passo 3
Na posição horizontal o CG acelera só radialmente (não há aceleração tangencial porque o torque resultante é zero naquele instante).
A aceleração radial do CG é
a_r = ω²·(L/2) = (3g/L)·(L/2) = 3g/2
A aceleração radial do CG é
a_r = ω²·(L/2) = (3g/L)·(L/2) = 3g/2
Passo 4
Fazendo o DCL da barra inteira, soma de forças horizontais e verticais sobre o CG:
Horizontais:
∑F_x = m·a_r
–R_x + F_s = m·(3g/2)
∑F_x = m·a_r
–R_x + F_s = m·(3g/2)
onde F_s = k·(L – ℓ₀).
⟹ R_x = F_s – (3m g/2) = k·(L – ℓ₀) – 1.5·m·g
⟹ R_x = F_s – (3m g/2) = k·(L – ℓ₀) – 1.5·m·g
Verticais:
∑F_y = m·a_y = 0 (nenhuma aceleração vertical instantânea do CG)
R_y – m·g = 0 ⇒ R_y = m·g
∑F_y = m·a_y = 0 (nenhuma aceleração vertical instantânea do CG)
R_y – m·g = 0 ⇒ R_y = m·g
Passo 5
Magnitude da reação no pino B:
R = √(R_x² + R_y²)
= √{ [k·(L – ℓ₀) – 1.5·m·g]² + (m·g)² }
R = √(R_x² + R_y²)
= √{ [k·(L – ℓ₀) – 1.5·m·g]² + (m·g)² }
Resposta
R = √{ [50·(L – 0,15) – 1.5·5·9,81]² + (5·9,81)² } (em N)
(Basta agora substituir o valor de L para obter o resultado numérico.)