Um sistema de encanamento possui ar comprimido a uma pressão interna de
( 90 psi). Além da pressão do fluido, o encanamento suporta uma carga vertical (
) de 9 kN e uma carga horizontal
de 13 kN ambas aplicadas na aba A . O tubo tem diâmetro externo
e diâmetro interno
. Desprezando o preso próprio da tubulação, determine para o ponto H :
- as tensões principais;
- a tensão cisalhante máxima;
- a tensão cisalhante máxima absoluta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo de diâmetro externo D = 200 mm e interno d = 190 mm, cheio de ar a 0,62 MPa. Além disso, na “aba A” dele tem uma força vertical de 9 kN (no sentido –y) e uma horizontal de 13 kN (no sentido +x). O que a questão quer é, no ponto H (no contorno externo do tubo), calcular
• as tensões principais,
• a tensão cisalhante máxima (no plano de tensão),
• e a tensão cisalhante máxima absoluta (considerando as três direções principais).
• as tensões principais,
• a tensão cisalhante máxima (no plano de tensão),
• e a tensão cisalhante máxima absoluta (considerando as três direções principais).
Conteúdo envolvido: mecânica dos materiais (tensões de membrana em tubo devido à pressão interna, tensões de flexão por momento e uso de tensores/princípios de tensão). Vamos precisar do cálculo de tensão circumferencial (hoop), axial por pressão, momento fletor gerado pelas forças e, então, montar o estado plano/3D de tensão pra achar os principais.
Passo 2
Primeiro, calculamos a espessura e o momento de inércia da seção circular oca:
t = (D – d)/2 = (200 mm – 190 mm)/2 = 5 mm
Raio externo R = D/2 = 100 mm
Momento de inércia (em mm⁴):
t = (D – d)/2 = (200 mm – 190 mm)/2 = 5 mm
Raio externo R = D/2 = 100 mm
Momento de inércia (em mm⁴):
Passo 3
Agora, as tensões de membrana produzidas pela pressão interna p = 0,62 MPa (=0,62 N/mm²):
– Tensão hoop (circunferencial):
– Tensão hoop (circunferencial):
– Tensão axial (devido à pressão):
Passo 4
As forças externas geram momento fletor na seção, que produz tensão axial adicional. Supondo que o ponto H esteja na superfície externa, no lado +x (coordenada x = +R, y = 0):
– Momento em torno do eixo y (devido à força horizontal de 13 kN aplicada a R =100 mm):
– Momento em torno do eixo y (devido à força horizontal de 13 kN aplicada a R =100 mm):
– Momento em torno do eixo x (devido à força vertical de 9 kN em R):
A tensão de flexão num ponto (x,y) é
.
Em H temos x = +100 mm, y = 0, então só M_y conta:
Em H temos x = +100 mm, y = 0, então só M_y conta:
Passo 5
Somando a tensão axial total em z (pressão + flexão):
E lembrando:
,
(radial, na superfície externa) = 0.
Passo 6
Temos, portanto, estado de tensão tridimensional no ponto H:
\sigma_1 = ?, \sigma_2 = ?, \sigma_3 = ?
mas antes achamos os próprios principais resolvendo o tensor. Como σ_r =0 fica:
σ_z = 15,10 MPa, σ_θ = 12,40 MPa, σ_r = 0.
\sigma_1 = ?, \sigma_2 = ?, \sigma_3 = ?
mas antes achamos os próprios principais resolvendo o tensor. Como σ_r =0 fica:
σ_z = 15,10 MPa, σ_θ = 12,40 MPa, σ_r = 0.
Ordemando do maior para o menor:
Passo 7
Tensão cisalhante máxima no plano de tensão (entre os dois maiores principais, 2D):
Passo 8
Tensão cisalhante máxima absoluta (considerando as três direções principais):
Resposta
• Tensões principais:
σ₁ = 15,10 MPa, σ₂ = 12,40 MPa, σ₃ = 0 MPa
• Tensão cisalhante máxima (2D): τₘₐₓ = 1,35 MPa
• Tensão cisalhante máxima absoluta (3D): τₘₐₓ,abs = 7,55 MPa
σ₁ = 15,10 MPa, σ₂ = 12,40 MPa, σ₃ = 0 MPa
• Tensão cisalhante máxima (2D): τₘₐₓ = 1,35 MPa
• Tensão cisalhante máxima absoluta (3D): τₘₐₓ,abs = 7,55 MPa