Um sistema de encanamento possui ar comprimido a uma pressão interna de 0,62 MPa ( 90 psi). Além da pressão do fluido, o encanamento suporta uma carga vertical ( -y ) de 9 kN e uma carga horizontal (+x) de 13 kN ambas aplicadas na aba A . O tubo tem diâmetro externo D=200 mm e diâmetro interno d=190 mm. Desprezando o preso próprio da tubulação, determine para o ponto H :
  • as tensões principais;
  • a tensão cisalhante máxima;
  • a tensão cisalhante máxima absoluta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo de diâmetro externo D = 200 mm e interno d = 190 mm, cheio de ar a 0,62 MPa. Além disso, na “aba A” dele tem uma força vertical de 9 kN (no sentido –y) e uma horizontal de 13 kN (no sentido +x). O que a questão quer é, no ponto H (no contorno externo do tubo), calcular
• as tensões principais,
• a tensão cisalhante máxima (no plano de tensão),
• e a tensão cisalhante máxima absoluta (considerando as três direções principais).
Conteúdo envolvido: mecânica dos materiais (tensões de membrana em tubo devido à pressão interna, tensões de flexão por momento e uso de tensores/princípios de tensão). Vamos precisar do cálculo de tensão circumferencial (hoop), axial por pressão, momento fletor gerado pelas forças e, então, montar o estado plano/3D de tensão pra achar os principais.

Passo 2

Primeiro, calculamos a espessura e o momento de inércia da seção circular oca:
t = (D – d)/2 = (200 mm – 190 mm)/2 = 5 mm
Raio externo R = D/2 = 100 mm
Momento de inércia (em mm⁴):
I ;=;pi64l(D^4 - d^4r) ;approx;pi64l(200^4 - 190^4r) approx 1,462times10^7,mm^4

Passo 3

Agora, as tensões de membrana produzidas pela pressão interna p = 0,62 MPa (=0,62 N/mm²):
– Tensão hoop (circunferencial):
sigmatheta = p,D2,t = 0,62,(200)2cdot5 = 12,4;N/mm^2
– Tensão axial (devido à pressão):
sigmaz,p = p,D4,t = 12,42 = 6,2;N/mm^2

Passo 4

As forças externas geram momento fletor na seção, que produz tensão axial adicional. Supondo que o ponto H esteja na superfície externa, no lado +x (coordenada x = +R, y = 0):
– Momento em torno do eixo y (devido à força horizontal de 13 kN aplicada a R =100 mm):
My = Fx cdot R = 13,000,Ntimes 100,mm = 1,3times10^6;N·mm
– Momento em torno do eixo x (devido à força vertical de 9 kN em R):
Mx = Fy cdot R = 9,000,Ntimes 100,mm = 9,0times10^5;N·mm
A tensão de flexão num ponto (x,y) é
sigmaz,b = My,xI = 1,3times10^6 times 1001,462times10^7 approx 8,90;N/mm^2 .
Em H temos x = +100 mm, y = 0, então só M_y conta:

Passo 5

Somando a tensão axial total em z (pressão + flexão):
sigmaz = sigmaz,p + sigmaz,b = 6,20 + 8,90 = 15,10;N/mm^2
E lembrando:
,
(radial, na superfície externa) = 0.

Passo 6

Temos, portanto, estado de tensão tridimensional no ponto H:
\sigma_1 = ?, \sigma_2 = ?, \sigma_3 = ?
mas antes achamos os próprios principais resolvendo o tensor. Como σ_r =0 fica:
σ_z = 15,10 MPa, σ_θ = 12,40 MPa, σ_r = 0.
Ordemando do maior para o menor:
σ1 = 15,10;MPa, σ2 = 12,40;MPa, σ3 = 0;MPa

Passo 7

Tensão cisalhante máxima no plano de tensão (entre os dois maiores principais, 2D):
taumax,,plano = σ1 - σ22 = 15,10 - 12,402 = 1,35;MPa

Passo 8

Tensão cisalhante máxima absoluta (considerando as três direções principais):
taumax,,abs = σ1 - σ32 = 15,10 - 02 = 7,55;MPa

Resposta

• Tensões principais:
 σ₁ = 15,10 MPa, σ₂ = 12,40 MPa, σ₃ = 0 MPa
• Tensão cisalhante máxima (2D): τₘₐₓ = 1,35 MPa
• Tensão cisalhante máxima absoluta (3D): τₘₐₓ,abs = 7,55 MPa

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