Usando o método da bisseção, determine a raiz real da equação algébrica x^{3}+2 x^{2}- x+1=0 que atenda uma tolerância para o erro \varepsilon \leq 10^{-2}. Use o método de arredondamento nos cálculos.

Passo 1

O problema pede: determinar a raiz real da equação
x^{3}+2x^{2}-x+1=0
usando o método da bisseção, com tolerância para o erro \varepsilon \leq 10^{-2}. Informações dadas:
  • A função a estudar é f(x)=x^{3}+2x^{2}-x+1.
  • A tolerância exigida é \varepsilon \leq 10^{-2}.
  • Deve-se usar o método da bisseção e aplicar arredondamento nos cálculos.

Passo 2

Breve explicação do método da bisseção (passo a passo didático):
  • O método exige um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)f(b)<0 (ou seja, sinais opostos), garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo.
  • Em cada iteração calcula-se o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2} e avalia-se f\text{(c)}.
    • Se f\text{(c)}=0 então c é raiz.
    • Se f(a)f\text{(c)}<0 a raiz está em [a,c]; caso contrário está em [c,b].
  • Repetir até que a aproximação atenda à tolerância. Uma condição prática usada aqui é garantir um número de iterações n tal que
\frac{b-a}{2^{n}}\le \varepsilon,
isto é, dividir o intervalo inicial n vezes por 2 deixa o erro máximo abaixo de \varepsilon.
  • Convenção de arredondamento adotada nos cálculos: arredondar cada valor de ponto médio c e cada avaliação f\text{(c)} para 4 casas decimais (arredondamento padrão), para refletir o pedido de “método de arredondamento nos cálculos”. No final a aproximação será compatível com \varepsilon.

Passo 3

Encontrar um intervalo inicial que contenha a raiz (procurar mudança de sinal).
  • Avaliando nos pontos inteiros próximos:
f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-(-3)+1=-27+18+3+1=-5.
f(-2)=(-2)^{3}+2(-2)^{2}-(-2)+1=-8+8+2+1=3.
Como f(-3)=-5<0 e f(-2)=3>0, há mudança de sinal em [-3,-2]. Logo podemos usar [a_{0},b_{0}]=[-3,-2].

Passo 4

Determinar o número de iterações necessárias (condição de parada pelo erro).
  • Comprimento inicial b_{0}-a_{0}=1.
  • Queremos (b_{0}-a_{0})/2^{n}\le 10^{-2}. Então
\frac{1}{2^{n}}\le 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad 2^{n}\ge 100.
n\ge \log_{2}(100)\approx 6{,}643\ldots
Logo tomamos n=7 iterações (mínimo inteiro que satisfaz). Faremos 7 iterações; cada cálculo de c e f\text{(c)} será arredondado a 4 casas decimais.

Passo 5

Intervalo atual: a_{0}=-3, b_{0}=-2.
  • Ponto médio:
c_{1}=\frac{-3+(-2)}{2}=-2{,}5.
  • Avaliação (arredondando f(c_{1}) a 4 casas decimais):
f(-2{,}5)=(-2{,}5)^{3}+2(-2{,}5)^{2}-(-2{,}5)+1=-15{,}625+12{,}5+2{,}5+1=0{,}3750.
Como f(c_{1})=0{,}3750>0 e f(a_{0})<0, a raiz está em [-3,-2{,}5]. Atualiza-se a_{1}=-3, b_{1}=-2{,}5.

Passo 6

Intervalo atual: a_{1}=-3, b_{1}=-2{,}5.
  • Ponto médio:
c_{2}=\frac{-3+(-2{,}5)}{2}=-2{,}75.
  • Avaliação (4 casas decimais):
f(-2{,}75)=(-2{,}75)^{3}+2(-2{,}75)^{2}-(-2{,}75)+1\approx -20{,}7969+15{,}1250+2{,}75+1=-1{,}9219.
Como f(c_{2})\approx -1{,}9219<0 e f(b_{1})>0, a raiz está em [-2{,}75,-2{,}5]. Atualiza-se a_{2}=-2{,}75, b_{2}=-2{,}5.

Passo 7

Intervalo atual: a_{2}=-2{,}75, b_{2}=-2{,}5.
  • Ponto médio:
c_{3}=\frac{-2{,}75+(-2{,}5)}{2}=-2{,}625.
  • Avaliação (4 casas decimais):
f(-2{,}625)\approx -18{,}0879+13{,}7813+2{,}625+1=-0{,}6816.
Como f(c_{3})\approx -0{,}6816<0, a raiz está em [-2{,}625,-2{,}5]. Atualiza-se a_{3}=-2{,}625, b_{3}=-2{,}5.

Passo 8

Intervalo atual: a_{3}=-2{,}625, b_{3}=-2{,}5.
  • Ponto médio:
c_{4}=\frac{-2{,}625+(-2{,}5)}{2}=-2{,}5625.
  • Avaliação (4 casas decimais):
f(-2{,}5625)\approx -16{,}8135+13{,}1328+2{,}5625+1=-0{,}1182.
Como f(c_{4})\approx -0{,}1182<0, a raiz está em [-2{,}5625,-2{,}5]. Atualiza-se a_{4}=-2{,}5625, b_{4}=-2{,}5.

Passo 9

Intervalo atual: a_{4}=-2{,}5625, b_{4}=-2{,}5.
  • Ponto médio:
c_{5}=\frac{-2{,}5625+(-2{,}5)}{2}=-2{,}53125.
  • Avaliação (4 casas decimais):
f(-2{,}53125)\approx -16{,}2183+12{,}8184+2{,}5313+1=0{,}1313.
Como f(c_{5})\approx 0{,}1313>0, a raiz está em [-2{,}5625,-2{,}53125]. Atualiza-se a_{5}=-2{,}5625, b_{5}=-2{,}53125.

Passo 10

Intervalo atual: a_{5}=-2{,}5625, b_{5}=-2{,}53125.
  • Ponto médio:
c_{6}=\frac{-2{,}5625+(-2{,}53125)}{2}=-2{,}546875.
  • Avaliação (4 casas decimais):
f(-2{,}546875)\approx -16{,}5206+12{,}9731+2{,}5469+1\approx -0{,}0006.
Arredondado a 4 casas decimais: f(c_{6})\approx -0{,}0006<0. Como f(c_{6})<0 e f(b_{5})>0, a raiz está em [-2{,}546875,-2{,}53125]. Atualiza-se a_{6}=-2{,}546875, b_{6}=-2{,}53125.

Passo 11

Intervalo atual: a_{6}=-2{,}546875, b_{6}=-2{,}53125.
  • Ponto médio:
c_{7}=\frac{-2{,}546875+(-2{,}53125)}{2}=-2{,}5390625.
  • Avaliação (4 casas decimais):
f(-2{,}5390625)\approx -16{,}3693+12{,}8940+2{,}5391+1=0{,}0638.
Arredondado a 4 casas decimais: f(c_{7})\approx 0{,}0638>0. Como f(a_{6})<0 e f(c_{7})>0, o novo intervalo seria [-2{,}546875,-2{,}5390625].
Verificação da condição de erro: o comprimento do novo intervalo é
b_{7}-a_{7}=-2{,}5390625-(-2{,}546875)=0{,}0078125\le 0{,}01,
portanto a aproximação obtida após 7 iterações atende \varepsilon\le 10^{-2}. Tomando como aproximação a última média calculada c_{7}=-2{,}5390625 (arredondada conforme convenção para 4 casas: -2{,}5391), temos erro garantido menor que 0{,}01.

Resposta

-2,5391

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