Usando o método da bisseção, determine a raiz real da equação algébrica
que atenda uma tolerância para o erro
. Use o método de arredondamento nos cálculos.
Passo 1
O problema pede: determinar a raiz real da equação
usando o método da bisseção, com tolerância para o erro
. Informações dadas:
- A função a estudar é
. - A tolerância exigida é
. - Deve-se usar o método da bisseção e aplicar arredondamento nos cálculos.
Passo 2
Breve explicação do método da bisseção (passo a passo didático):
- O método exige um intervalo inicial
tal que (ou seja, sinais opostos), garantindo que exista pelo menos uma raiz nesse intervalo. - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
e avalia-se . - Se
então é raiz. - Se
a raiz está em ; caso contrário está em .
- Se
- Repetir até que a aproximação atenda à tolerância. Uma condição prática usada aqui é garantir um número de iterações
tal que
isto é, dividir o intervalo inicial
vezes por 2 deixa o erro máximo abaixo de
.
- Convenção de arredondamento adotada nos cálculos: arredondar cada valor de ponto médio
e cada avaliação para 4 casas decimais (arredondamento padrão), para refletir o pedido de “método de arredondamento nos cálculos”. No final a aproximação será compatível com .
Passo 3
Encontrar um intervalo inicial que contenha a raiz (procurar mudança de sinal).
- Avaliando nos pontos inteiros próximos:
Como
e
, há mudança de sinal em
. Logo podemos usar
.
Passo 4
Determinar o número de iterações necessárias (condição de parada pelo erro).
- Comprimento inicial
. - Queremos
. Então
Logo tomamos
iterações (mínimo inteiro que satisfaz). Faremos 7 iterações; cada cálculo de
e
será arredondado a 4 casas decimais.
Passo 5
Intervalo atual:
,
.
- Ponto médio:
- Avaliação (arredondando
a 4 casas decimais):
Como
e
, a raiz está em
. Atualiza-se
,
.
Passo 6
Intervalo atual:
,
.
- Ponto médio:
- Avaliação (4 casas decimais):
Como
e
, a raiz está em
. Atualiza-se
,
.
Passo 7
Intervalo atual:
,
.
- Ponto médio:
- Avaliação (4 casas decimais):
Como
, a raiz está em
. Atualiza-se
,
.
Passo 8
Intervalo atual:
,
.
- Ponto médio:
- Avaliação (4 casas decimais):
Como
, a raiz está em
. Atualiza-se
,
.
Passo 9
Intervalo atual:
,
.
- Ponto médio:
- Avaliação (4 casas decimais):
Como
, a raiz está em
. Atualiza-se
,
.
Passo 10
Intervalo atual:
,
.
- Ponto médio:
- Avaliação (4 casas decimais):
Arredondado a 4 casas decimais:
. Como
e
, a raiz está em
. Atualiza-se
,
.
Passo 11
Intervalo atual:
,
.
- Ponto médio:
- Avaliação (4 casas decimais):
Arredondado a 4 casas decimais:
. Como
e
, o novo intervalo seria
.
Verificação da condição de erro: o comprimento do novo intervalo é
portanto a aproximação obtida após 7 iterações atende
. Tomando como aproximação a última média calculada
(arredondada conforme convenção para 4 casas:
), temos erro garantido menor que
.